بحث هذه المدونة الإلكترونية

الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (٢)


المقال السابق: ’الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (١)‘


ناقشت في المقال السابق عدداً من المعاملات المنطقية هي المعامل الأحادي الوحيد وهو معامل النفي، والمعاملات الثنائية لعمليات الاتصال والانفصال والانفصال الحصري. كما أوضحت أن طرق الربط المختلفة بين متغيرين منطقيين عددها ١٦، منها ١٠ فقط ذات قيمة (non-trivial) وقد تضمن المقال السابق ٣ منها، وأناقش في هذا المقال أنواع الشرط الخمسة في الجبر البولياني.

أسلوب الشرط المنطقي يستخدم بغزارة في الاستنتاجات المنطقية، ويعتبر من أهم الأفكار في المنطق والفلسفة، وهناك مغالطات منطقية شائعة سببها الخطأ في استخدام أسلوب الشرط، وقد أتطرق لمثل هذه المغالطات في مقال لاحق.

رموز المعاملات البوليانية

أنواع الشرط الخمسة يمكن فهمها بسهولة نسبية إذا فُهِم النوع الأساسي منها والذي قد تعبر عنه الجملة الشرطية العادية في اللغة، وقد يبدو أن فهم هذا النوع من الربط المنطقي سهلاً، لكنه ليس بالضرورة كذلك. الأنواع الأربعة الأخرى هي نفي الشرط، والشرط المعكوس (أي في الاتجاه المعاكس) ونفيه، والشرط الثنائي وهو جملة شرطية تسري في الاتجاهين.

الجملة الشرطية في اللغة

لكي نفهم كيفية الربط بين قضيتين منطقيتين بمعامل الشرط المنطقي نبدأ أولاً بتعريف أجزاء الجملة الشرطية (conditional statement).

تتكون جملة الشرط التقليدية في اللغة العربية من ’أداة الشرط‘ (مثل إنْ، إذَا، لَوْ، كُلَّمَا، مَنْ، مَا، مَتَى، أَيْنَ) ومن جملتين إحداهما تسمى جملة ’فعل الشرط‘ وهي التي تلي أداة الشرط مباشرة، والأخرى تسمى جملة ’جواب الشرط‘ وقد تلي جملة الشرط أو تسبق أداة الشرط. على سبيل المثال، الجمل الآتية كلها شرطية في اللغة:

الجملة الشرطيةجملة فعل الشرطجملة جواب الشرط
من يجتهد ينجحيجتهدينجح
يمكنك دراسة المنطق إن أردت تعلمهأردت تعلمهيمكنك دراسة المنطق
إذا فرغت فانصبفرغتانصب
ما قدّمت من خير عاد إليكقدّمت من خيرعاد إليك
متى فاض النيل فرحنافاض النيلفرحنا
أين حللتم فعلى الرحب والسعةحللتم(حللتم) على الرحب والسعة
لو أن الفقر رجل لقتلتهالفقر رجلقتلته
إذا فرغت من واجباتي فماذا أفعل؟فرغت من واجباتيماذا أفعل؟
إن فعلت ذلك فأنت نعم الصديقفعلت ذلكأنت نعم الصديق
كلما دخل عليها زكريا المحراب وجد عندها رزقاًدخل عليها زكريا المحرابوجد عندها رزقاً
النور ضروري إذا أردت أن ترىأردت أن ترىالنور ضروري

وكما نرى في الأمثلة ليست كل جملة شرط في اللغة تصلح للاستعمال في الجبر البولياني، لأن بعض أجوبة الشرط لا تصلح كقضايا منطقية في الجبر البولياني، فبعضها في صيغة الاستفهام أو الأمر أو المدح وهي كما ناقشت في المقدمة لا تصلح لأنها لا تُفهَم يقيناً إما صدقاً وإما كذباً.

ليست كل جملة شرطية في اللغة تصلح لتكون شرطاً في الجبر البولياني.

فما هو معنى الجملة الشرطية؟ ناقشت في المقدمة أن الجبر البولياني يفصل المعنى عن الدلالة من جهة الصدق أو الكذب، وهكذا يقع عبء المعنى بالكامل على مستخدم الجبر البولياني. في الجملة الشرطية التقليدية التي تصلح للجبر البولياني يؤدي تحقق قضية فعل الشرط إلى تحقق قضية جواب الشرط، فنفهم من الجملة الشرطية ”من يجتهد ينجح“ أن تحقق الاجتهاد يتبعه تحقق النجاح، ويمكن أن نعيد صياغة الجملة لتكون ”إذا اجتهدت تنجح“. ولأن المنطق البولياني يتعامل مع القضايا كصدق تام أو كذب تام فلا مجال فيه للأمور الوسط، وفي واقع الحياة يمكن أن تجتهد ولا تنجح لأن أسباب النجاح معقدة، لكن لكي نفهم الشرط في الجبر البولياني نحتاج إلى جملة شرطية ليس فيها مثل هذا التعقيد.

سأستعير في هذا السياق عبارة الفيلسوف وعالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت (René Descartes) الشهيرة ”أنا أفكر، إذاً أنا موجود“ (cogito ergo sum) والتي يمكن التعبير عنها في صورة شرط كالآتي: ”إذا كنت أفكر فأنا موجود“. فعل الشرط أنني أفكر وجوابه أنني موجود، ونرى أن صدق فعل الشرط يتبعه صدق جوابه، وتحقق فعل الشرط أولاً يستلزم تحقق جوابه كنتيجة. لهذا السبب تسمى قضية فعل الشرط ’المُقَدَّم‘ (antecedent) أو ’القضية المُقَدَّمة‘ لأنها تتقدم في التحقق أو الصدق، وتسمى قضية جواب الشرط ’التالي‘ (consequent) أو ’القضية التالية‘ لأن تحققها أو صدقها يلي (يتبع) تحقق فعل الشرط.

ويمكن لفظياً التعبير عن الشرط بمعناه في الجبر البولياني بطرق عديدة ولا يلزم استعمال أداة الشرط فيها، والمثال الذي طرحته في المقال السابق كان تعبير ’القمر لا يُرَى والشمس في كبد السماء‘ الذي يخلو من أداة الشرط. وكل الجمل الآتية تعبر عن معنى الشرط كما في مقولة رينيه ديكارت المذكورة سابقاً:

  • يكفي أن أكون مفكراً لأكون موجوداً
  • من الضروري لأكون مفكراً أن أكون موجوداً
  • كوني مفكراً يحتم كوني موجوداً
  • أكون مفكراً فقط إذا كنت موجوداً
  • كوني موجوداً يتبع من كوني مفكراً
  • يستحيل أن أكون مفكراً ولا أكون موجوداً

ولأن الشرط في الجبر البولياني قد يقابله تعبير لفظي يخلو تماماً من أداة الشرط، ولأن ترتيب كتابة فعل الشرط وجواب الشرط لا يتبع نسقاً معيناً، يُشَكِّل استخلاص الشرط البولياني من اللغة تحدياً ليس بالقليل في الكثير من الأحيان.

الشرط (Material implication) في الجبر البولياني

يُعَبَّر عن الشرط في الجبر البولياني بالرمز \(\rightarrow\) الذي يبدأ عند المُقَدَّم وينتهي عند التالي، وفي هذا يختلف الشرط اختلافاً كبيراً عن المعاملات الثنائية التي ناقشتها في المقال السابق لأن الشرط له اتجاه، أما الاتصال والانفصال والانفصال الحصري فلا يؤثر في نتيجتها تغيير موضع المتغيرين المنطقيين. وجملة الشرط التي فيها المُقَدَّم هو المتغير \(p\) والتالي هو المتغير \(q\) يُعَبَّر عنها بالشكل \((p\rightarrow q)\) ويكون ناتج الربط بالشرط كاذباً إذا صدق المُقَدَّم وكذب التالي، ويكون صادقاً في كل الأحوال الأخرى. ويمكن الاستغناء عن الأقواس في بعض السياقات كما سأناقش في مقال لاحق. وفيما يلي جدول الصدق للشرط.

\(p\)\(q\)\((p\rightarrow q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)

يمكن للقارئ تطبيق هذا على مثال مقولة ديكارت بجعل المتغير \(p\) يعبر عن قضية ’أنا أفكر‘ والمتغير \(q\) يعبر عن قضية ’أنا موجود‘. الجملة الشرطية صادقة في حال صدق المُقَدَّم والتالي كما في الصف الأول في جدول الصدق، وهي كاذبة في حال صدق المُقَدَّم وكذب التالي والذي يعني أنني أفكر لكنني لست موجوداً (وهو أمر مستحيل) ويعبر عنه الصف الثاني في جدول الصدق، وهي صادقة أيضاً في حالة كذب المُقَدَّم بغض النظر عن قيمة التالي وهو ما يعبر عنه الصفان الثالث والرابع في جدول الصدق، فمن الممكن أن يكون الشيء (أو الشخص) موجوداً ولا يفكر، ومن الممكن أن يكون الشيء تخيلاً لا وجود له وبالتالي لا يفكر.

ناتج الربط بين قضيتين بالشرط في الجبر البولياني يكون كاذباً فقط إذا صدق المُقَدَّم وكذب التالي، ويكون صادقاً في كل الأحوال الأخرى.

الشرط في اللغة يستخدم للتعبير عن معان كثيرة، فقد يعبِّر عن مجرد تبعية جواب الشرط لفعله (وهو ما نفهمه من كلمة الشرط بالدرجة الأولى) مثل مقولة ديكارت السابقة ومثل ”إذا توفر لي المال الكافي سأشتري سيارة“، وقد يعني السببية مثل ”إذا أشرقت الشمس ارتفعت درجة الحرارة“، وقد يعبِّر عن الارتباط مثل ”إذا جاء الصيف كثر مرتادو الشواطئ“، وقد يعبِّر عن التوقع مثل ”إذا أمطرت السماء ستقل درجة الحرارة“، وقد يعبِّر عن الاستنتاج مثل ”إذا كان المصعد يعمل فالتيار الكهربي لم ينقطع“، وقد يعبِّر عن التكرار مثل ”كلما دخل عليها زكريا المحراب وجد عندها رزقاً“، وقد يعبِّر عن التفسير مثل ”لو كنت جوعاناً لأكلت“. في كل الأحوال السابقة تتوافق جمل الشرط مع جدول الصدق في الشرط البولياني.

وبعض صيغ الشرط في اللغة لا يعبِّر عن شرط بولياني على الإطلاق. فمثلاً قول ”أشهد بالحق وإن أضرني ذلك“ ليس إلا تقريراً لحقيقة أنني أشهد بالحق دائماً بغض النظر عما قد يحيق بي من ضرر، وقولنا ”لو كان معي مال لساعدت به الفقراء“ هو تَمَنٍّ وليس شرطاً، فإذا كنت لا أملك المال فمن المستحيل أن أساعد ’به‘ (وهذه هي الكلمة التي تمنع كونه شرطاً بوليانياً) الفقراء ويكون الربط كاذباً في الصف الثالث في جدول الصدق أعلاه، مما يجعله غير مطابق لتعريف الشرط البولياني (لكنه مطابق للشرط الثنائي كما سأناقش لاحقاً).

الشرط في الجبر البولياني يخلو من المعنى، ولهذا يسمى أيضاً ’تَضَمُّناً‘ أو ’تَضَمُّناً مادياً‘ وتعريف العلاقة بين قضيتين على أنها شرط بولياني يعتمد فقط على جدول الصدق.

ولأن الجبر البولياني يفصل بين معنى القضية وبين دلالتها من جهة الصدق أو الكذب كما ناقشت في المقدمة، ولأن كل ما يؤثر في ناتج الجبر البولياني هو حالة الصدق أو الكذب، فالشرط في الجبر البولياني ليس كالشرط في اللغة، وهذا من أكثر الأمور التي تسبب التباساً. الشرط في الجبر البولياني يخلو من المعنى، وكل ما يحدد كون الربط بين قضيتين شرطاً أو خلاف ذلك هو جدول الصدق الخاص بهذا الربط. ولهذا فإن الشرط في الجبر البولياني يطلق عليه أحياناً التَضَمُّن (implication) بدلاً من الشرط (condition)، والتسمية راجعة إلى أن تحقق فعل الشرط يتضمن تحقق جوابه (وليس العكس، وأذكّر القارئ أن الشرط له اتجاه).

ولأن التضمُّن قد يعني عند القارئ وجود ارتباط في المعنى بين المُقَدَّم والتالي بينما مثل هذا الارتباط غائب في الجبر البولياني، يسمى أيضاً هذا النوع من الربط التضمُّن المادي (material implication) للتذكير بأنه يخلو من المعنى، وهذا ما نجده أحياناً في بعض الجمل الشرطية في اللغة التي تهدف إلى تقرير نفي كل من المُقَدَّم والتالي مثل ”إذا كانت أوراق النقد تنمو على الأشجار فالشمس تشرق ليلاً“.

الضرورة والكفاية (Necessity and sufficiency)

بالنظر فقط إلى الأحوال التي تكون فيها العلاقة الشرطية بين قضيتين في الجبر البولياني صادقة (الصفوف الأول والثالث والرابع في جدول الصدق) وإسقاط الحالة التي تكون فيها العلاقة الشرطية كاذبة (الصف الثاني) نحصل على جدول الصدق التالي. وما يمكن استنتاجه منه مرهون بافتراض صدق العلاقة الشرطية.

\(p\)\(q\)\((p\rightarrow q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)

إذا علمنا صدق المُقَدَّم \(p\) فهذا يحصرنا في الصف الأول فقط في الجدول السابق، وهو ما معناه أن التالي صادق، ولا توجد حالات أخرى. هذا معناه أن في حالة صدق العلاقة الشرطية يكون صدق المُقَدَّم كافياً ليصدق التالي. وإذا تساءلنا عن الحالات التي يكون فيها المُقَدَّم صادقاً (وهذا يختلف عن العلم بصدق المُقَدَّم) نجد أيضاً أننا محصورون في حالة واحدة فيها التالي صادق. هذا معناه أن في حالة صدق العلاقة الشرطية يكون صدق التالي ضرورياً ليصدق المُقَدَّم.

كمثال على ذلك، في العلاقة الشرطية المتمثلة في بيت الشعر ”إِذَا الشَّعْبُ يَوْمًا أَرَادَ الْحَيَاةَ فَلَا بُدَّ أَنْ يَسْتَجِيبَ الْقَدَرْ“ من قصيدة إرادة الحياة للشاعر التونسي أبي القاسم الشابي، المُقَدَّم هو إرادة الشعب للحياة والتالي هو استجابة القدر، ويُفهَم من المعنى أن تحقق إرادة الشعب أمر كافٍ لتحقق استجابة القدر وأن تحقق استجابة القدر أمر ضروري متى تحققت إرادة الشعب، وتظهر ضرورة تحقق التالي بوضوح في قول الشاعر ’لا بد‘.

وبالنظر إلى جدول الصدق السابق وإلى الأحوال التي يُعرَف فيها صدق التالي، هل يكفينا ذلك لمعرفة صدق أو كذب المُقَدَّم؟ التالي يصدق في صفين والمُقَدَّم يصدق في أحدهما ويكذب في الآخر، وهكذا لا سبيل لنا إلى معرفة صدق أو كذب المُقَدَّم من معرفة صدق التالي، أي أن صدق التالي لا يكفي لمعرفة صدق المُقَدَّم. وبالنظر للأحوال التي قد يكون فيها التالي صادقاً، هل من الضروري أن يصدق المُقَدَّم؟ نجد أيضاً أن المُقَدَّم قد يصدق أو يكذب، أي أنه ليس من الضروري أن يصدق المُقَدَّم لكي يصدق التالي. استيعاب الفكرة جيداً يحتاج إلى قدر من التمرين، وأنصح القارئ بالتفكير في جمل شرطية مختلفة وتطبيق ما سبق عليها.

في العلاقة الشرطية البوليانية وبفرض أنها صادقة، يكون صدق المقدم شرطاً كافياً لصدق التالي، ويكون صدق التالي شرطاً ضرورياً لصدق المقدم.

ونجد علاقة شرطية مثلاً في بيت الشعر ”وَمَنْ يَكُ ذَا فَضْلٍٍ فَيَبْخَلْ بِفَضْلِهِ عَلَى قَوْمِهِ يُسْتَغْنَ عَنْهُ وَيُذْمَمِ“ من معلقة الشاعر زهير بن أبي سلمى ويمكن صياغة البيت كالآتي ”إذا بخل ذو فضل بفضله على قومه فإنه يُستَغنى عنه ويكون مذموماً“، ويكون المُقَدَّم هو بخل ذو الفضل بفضله على قومه والتالي أنه يُستَغنى عنه ويكون مذموماً، وليس كافياً صدق التالي في هذه الحالة لتحقق صدق المُقَدَّم، فالعديد من الأسباب قد تجعل من الشخص مُستَغنى عنه ومذموماً، وليس من الضروري صدق المُقَدَّم لتحقق صدق التالي، فليس من الضروري أن يكون الشخص ذا فضل ويبخل على قومه بفضله لكي يكون مُستَغنى عنه ومذموماً منهم.

ولهذا يطلق على المُقَدَّم أيضاً الشرط الكافي (sufficient condition) للتالي، وعلى التالي الشرط الضروري (necessary condition) للمُقَدَّم. وأحيل القارئ إلى الطرق المختلفة التي أوردتها للتعبير عن مقولة ديكارت ”أنا أفكر، إذاً أنا موجود“ أعلاه ليراجع التعبير عن الشرط الضروري والشرط الكافي فيها. والفرق بين الضرورة والكفاية يتضح أكثر عند دراسة نفي الشرط.

نفي الشرط (Material non-implication)

نفي الشرط هو نوع آخر من الربط بين قضيتين منطقيتين في الجبر البولياني، ومثل معظم المعاملات في الرياضيات يُعَبَّر عن نفي العملية بالرمز نفسه المعبر عنها مع وضع شرطة مائلة عليه، ويُعَبَّر عن نفي الشرط في الجبر البولياني بالرمز \(\nrightarrow\). وجملة نفي الشرط التي فيها المُقَدَّم \(p\) والتالي \(q\) يعبر عنها بالشكل \((p\nrightarrow q)\) ويكون ناتج نفي الشرط صادقاً فقط إذا صدق المُقَدَّم وكذب التالي، ويكون كاذباً في كل الأحوال الأخرى. وفيما يلي جدول الصدق لنفي الشرط وينتج من استعمال النفي مع ناتج الشرط البولياني.

\(p\)\(q\)\((p\rightarrow q)\)\(\neg(p\rightarrow q)\)\((p\nrightarrow q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

وقد يُعَبَّر لغوياً عن نفي الشرط بتكذيب الجملة الشرطية، فمثلاً جملة الشرط ”إذا كان الماء سائلاً فهو بارد للملمس“ جملة كاذبة، وبالتالي نفيها صادق (من قانون التفكير الثاني) والتعبير عنه يمكن أن يكون في صورة ”من الكذب أن الماء بارد للملمس إذا كان سائلاً“. ونعلم مما سبق أن المُقَدَّم هو الشرط الكافي والتالي هو الشرط الضروري، وهكذا يمكن أن نعبر عن نفي الشرط في صورة:

  • ليس كافياً أن يكون الماء سائلاً ليكون بارداً للململس
  • برودة الماء للململس ليست ضرورية لكونه سائلاً
  • سيولة الماء لا تحتم كونه بارداً للملمس

وكل ما سبق يعبر عن نفي كون المقدم شرطاً كافياً أو نفي كون التالي شرطاً ضرورياً، وهو ما يتفق مع مفهوم الضرورة والكفاية السابق الحديث عنه.

الشرط المعكوس (Converse implication)

الشرط المعكوس أو عكس الشرط هو جملة شرطية تبادل فيها المُقَدَّم والتالي أدوار الضرورة والكفاية. ويُعَبَّر عن الشرط المعكوس في الجبر البولياني بالرمز \(\leftarrow\) وهو سهم في الاتجاه المعاكس لرمز الشرط \(\rightarrow\)، والشرط المعكوس الذي فيه المُقَدَّم \(p\) والتالي \(q\) يُعَبَّر عنه بالشكل \((p\leftarrow q)\) ويكون ناتج الشرط المعكوس كاذباً فقط إذا كذب المقدم وصدق التالي (قارن بالشرط) ويكون صادقاً في كل الأحوال الباقية. وفيما يلي جدول الصدق للشرط المعكوس.

\(p\)\(q\)\((p\leftarrow q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)

والشرط المعكوس من \(p\) إلى \(q\) ما هو إلا شرط عادي من \(q\) إلى \(p\)، وهكذا فإن التالي \(q\) في الشرط المعكوس هو الشرط الكافي والمُقَدَّم \(p\) في الشرط المعكوس هو الشرط الضروري. وفي اللغة يُعَبَّر عن الشرط المعكوس كشرط عادي لكن مع تبديل قضية المُقَدَّم وقضية التالي مكان بعضهما البعض.

في الشرط المعكوس يتبادل المُقَدَّم والتالي الأدوار فيكون المُقَدَّم هو الشرط الضروري والتالي هو الشرط الكافي.

فمثلاً معكوس الجملة الشرطية ”إذا أشرقت الشمس فالوقت نهار“ هو الجملة الشرطية ”إذا كان الوقت نهار فالشمس أشرقت“. وفي المثال السابق تحديداً نجد أن المعنى يستقيم (لأنه شرط ثنائي كما سنرى لاحقاً) لكنه لا يستقيم في جميع الأحوال، فمثلاً معكوس الجملة الشرطية ”إذا عطشت أشرب“ هو الجملة الشرطية ”إذا شربت أعطش“ والمعنى في الشرط المعكوس لا يستقيم في هذه الحالة.

نفي الشرط المعكوس (Converse non-implication)

نفي الشرط المعكوس ينتج من استعمال معامل النفي مع ناتج الشرط المعكوس كما ناقشت في نفي الشرط، ويُعَبَّر عن نفي الشرط المعكوس في المنطق البولياني بالرمز \(\nleftarrow\)، ونفي الشرط المعكوس الذي فيه المُقَدَّم \(p\) والتالي \(q\) يعبر عنه بالشكل \((p\nleftarrow q)\) ويكون ناتج نفي الشرط المعكوس صادقاً إذا كذب المُقَدَّم وصدق التالي ويكون كاذباً في كل الأحوال الأخرى. وفيما يلي جدول الصدق لنفي الشرط المعكوس.

\(p\)\(q\)\((p\leftarrow q)\)\(\neg(p\leftarrow q)\)\((p\nleftarrow q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

ولغوياً يُعَبَّر عن نفي الشرط المعكوس بطريقة مشابهة لطريقة التعبير عن نفي الشرط، مع الوضع في الاعتبار تبادل أدوار المُقَدَّم والتالي. والربط بالشرط المعكوس ونفيه لا يختلف عن الربط بالشرط ونفيه (بهذا الترتيب) إلا في تبادل أدوار الضرورة والكفاية للمقدم والتالي، ويمكن دائماً التعبير عن أحدهما في صورة الآخر.

الشرط الثنائي (Biconditional) أو التكافؤ (Equivalence)

الشرط الثنائي هو جملة شرطية تسري في الاتجاهين، وهو ناتج اتصال الشرط بالشرط المعكوس، وقد أعطيت مثالاً سابقاً على ذلك الجملة الشرطية ”إذا أشرقت الشمس فالوقت نهار“ والتي لا تفقد صدقها إذا عكسناها فقلنا ”إذا كان الوقت نهار فالشمس أشرقت“. وهكذا يساوي الشرط الثنائي بين المُقَدَّم والتالي ويصير كل منهما شرطاً كافياً للآخر وكذلك شرطاً ضرورياً له، وبالتالي ليس للشرط الثنائي اتجاه، ويعبر عنه بالرمز \(\leftrightarrow\) وهو سهم يسري في الاتجاهين، والربط بالشرط الثنائي بين المتغير \(p\) والمتغير \(q\) يعبر عنه بالشكل \((p\leftrightarrow q)\) ويكون ناتج الشرط الثنائي صادقاً فقط إذا اتفقت القضيتان في الصدق أو الكذب، ويكون كاذباً إذا لم تتفقا. وفيما يلي جدول الصدق للشرط الثنائي ونرى فيه كيف أنه ناتج اتصال الشرط والشرط المعكوس.

\(p\)\(q\)\((p\rightarrow q)\)\((p\leftarrow q)\)\((p\rightarrow q)\wedge(p\leftarrow q)\)\((p\leftrightarrow q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)

ونرى من الجدول السابق كيف أن الشرط الثنائي يصدق فقط في حال اتفاق القضيتين من حيث الصدق أو الكذب، وفي هذا فهو المكافئ المنطقي لعلاقة التساوي كما أن الانفصال الحصري هو المكافئ المنطقي لعلاقة عدم التساوي كما ناقشت في المقال السابق. ولهذا السبب يسمى الشرط الثنائي أيضاً ’التكافؤ‘ (equivalence) بين متغيرين منطقيين.

ناتج الربط بين قضيتين بالشرط الثنائي يكون صادقاً فقط إذا اتفقتا في الصدق أو الكذب، ويكون كاذباً إذا اختلفتا. وكل من القضيتين يكون الشرط الكافي والضروري للأخرى.

ولأن كل من المتغيرين في الشرط الثنائي يعد شرطاً كافياً وكذلك ضرورياً للآخر، فكل منهما يسمى الشرط الكافي والضروري (necessary and sufficient condition) للآخر. ومعنى الشرط الكافي والضروري أن صدق أحد القضيتين يستلزم صدق الأخرى وكذبها يستلزم كذب الأخرى. وكثيراً ما نجد في الرياضيات استخدام مصطلح الشرط الكافي والضروري، فمثلاً إذا كان \(x^2\lt9\) فإن \(-3\lt x\lt3\) وبالعكس، وهكذا نقول أن \(x^2\lt9\) شرط كافٍ وضروري ليكون \(-3\lt x\lt3\)، ونعبر عن ذلك رمزياً بالشكل \(x^2\lt9\leftrightarrow-3\lt x\lt3\).

الخلاصة

جملة الشرط التقليدية تتكون من أداة الشرط وجملة فعل الشرط وجملة جواب الشرط، وتلي جملة فعل الشرط أداة الشرط مباشرة. ليست كل جملة شرطية (conditional statement) في اللغة تصلح لتكون شرطاً في الجبر البولياني.

تسمى جملة فعل الشرط في المنطق المُقَدَّم (antecedent) وتسمى جملة جواب الشرط التالي (consequent)، وصدق المقدم يتبعه صدق التالي.

الشرط في الجبر البولياني له اتجاه، ويكون كاذباً فقط في حالة صدق المُقَدَّم وكذب التالي، ويكون صادقاً في كل الأحوال الأخرى.

الشرط في الجبر البولياني يخلو من المعنى ويتم تعريفه عن طريق جدول الصدق. لهذا يسمى الشرط البولياني التَضَمُّن المادي (material implication). الشرط في اللغة يمكن أن يعبر عن كثرة من المعاني ولا يلزم أن تُصاغ هذه المعاني في صورة الشرط التقليدية، وهذا من أسباب صعوبة تطبيق الجبر البولياني على الشرط اللغوي.

المُقَدَّم في العلاقة الشرطية البوليانية هو الشرط الكافي (sufficient condition) للتالي، والتالي هو الشرط الضروري (necessary condition) للمُقَدَّم، ويمكن التعبير عن الشرط البولياني بكفاية أو ضرورة صدق قضية لصدق أخرى. نفي الشرط (non-implication) ينفي كفاية المُقَدَّم وضرورة التالي.

الشرط المعكوس (converse implication) ونفيه (converse non-implication) يمكن التعبير عنهما بالشرط العادي ونفيه (بهذا الترتيب) ويختلفان عنهما في تبادل المُقَدَّم والتالي لأدوار الضرورة (necessity) والكفاية (sufficiency).

الشرط الثنائي هو اتصال الشرط والشرط المعكوس بين قضيتين، ويكون صادقاً إذا اتفقت القضيتان في الصدق أو الكذب وكاذباً إذا اختلفتا. الشرط الثنائي ليس له اتجاه، وهو المكافئ المنطقي للتساوي. في الشرط الثنائي تكون كل من القضيتين شرطاً ضرورياً وكافياً (necessary and sufficient condition) للأخرى.


الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (١)


المقال السابق: ’الجبر البولياني: مقدمة‘


ناقشت في المقال السابق المعاملات المنطقية وأنواعها، وكل معامل منطقي يعبر عن عملية منطقية (logical operation) واحدة فقط، فمعامل النفي يعبر عن عملية النفي ومعامل الاتصال عن عملية الاتصال وهكذا. والمعامل الأحادي الوحيد هو معامل النفي، أما المعاملات الثنائية فتربط بين متغيرين منطقيين، وتوجد ١٦ طريقة مختلفة للربط بين أي متغيرين منطقيين \(p\) و \(q\)، لكن الطرق الستة الآتية يمكن اختزالها ولهذا فهي عديمة الأهمية (trivial):

  1. طريقة ينتج عنها الصدق في كل الأحوال وتسمى ’تكرار المعنى‘ أو ’التوتولوجيا‘ (tautology)
  2. طريقة ينتج عنها الكذب في كل الأحوال وتسمى ’التناقض‘ (contradiction)
  3. طريقة يكون ناتجها مطابقاً لقيمة المتغير المنطقي \(p\) (affirming the first)
  4. طريقة يكون ناتجها مطابقاً لقيمة المتغير المنطقي \(q\) (affirming the second)
  5. طريقة يكون ناتجها مطابقاً لخلاف قيمة المتغير المنطقي \(p\) (negating the first)
  6. طريقة يكون ناتجها مطابقاً لخلاف قيمة المتغير المنطقي \(q\) (negating the second)

هذا يتركنا فقط مع ١٠ طرق ربط (عمليات منطقية) ذات أهمية وهي:

رموز المعاملات البوليانية
  1. الاتصال (conjunction)
  2. الانفصال (disjunction)
  3. الانفصال الحصري (exclusive disjunction)
  4. الشرط (material implication)
  5. نفي الشرط (material non-implication)
  6. الشرط المعكوس (converse implication)
  7. نفي الشرط المعكوس (converse non-implication)
  8. الشرط الثنائي (biconditional)
  9. نفي الاتصال (joint denial)
  10. نفي الانفصال (alternative denial)

في هذا المقال سأناقش النفي والاتصال والانفصال والانفصال الحصري، أما الشرط بأنواعه فسأناقشه في مقال لاحق لتشابه وارتباط أنواع الشرط ببعضها، أما نفي الاتصال ونفي الانفصال فسأرجئه للنهاية وربما تجنبته تماماً لأنه ليس ضرورياً لاستخدام الجبر البولياني، وإنما يعلب دوراً أهم في مجال الحاسبات الآلية.

وقد آثرت أن يكون كل ما يحتوي على رموز رياضية فقط—سواء كان جدولاً أو غير ذلك—مقروءًا من اليسار إلى اليمين، وذلك لعدم معرفتي بتقنيات كافية للتعبير عن الرياضيات بشكل مريح بالحروف العربية ومن اليمين إلى اليسار، وأن يكون كل ما فيه جمل عربية مقروءًا من اليمين إلى اليسار ليتماشى مع اتجاه قراءتها. وفي حالة ضرورة الالتجاء إلى المزج بين العربية وبين الرموز الرياضية تُقرَأ الكلمات العربية من اليمين إلى اليسار والرموز الرياضية من اليسار إلى اليمين، وقد حاولت تجنب هذا المزج قدر الإمكان.

النفي (Negation)

معامل النفي في الجبر البولياني يعبر عنه بالرمز \(\neg\) ويُكتَب قبل المتغير المنطقي مباشرة، فإذا كان المتغير المنطقي \(p\) يكون نفيه \(\neg p\) ويكون لناتج نفي المتغير المنطقي قيمة مخالفة لقيمة المتغير المنطقي، فإذا كان المتغير يعبر عن قضية صادقة كان الناتج كاذباً، وإذا كان يعبر عن قضية كاذبة كان الناتج صادقاً.

جداول الصدق هي جداول تعبر عن كل القيم الممكنة لناتج دخول معامل منطقي أو أكثر على متغير منطقي أو أكثر.

وفي الجبر البولياني نعبر عن قيمة الناتج من دخول معامل منطقي (أو أكثر) على متغير منطقي (أو أكثر) بجداول نسميها جداول الصدق (truth tables)، وفيما يلي جدول الصدق لمعامل النفي. وقد آثرت استخدام الرمز اللوني (color coding) في جداول الصدق، فالقيمة الصادقة باللون الأزرق والكاذبة بالأحمر، وذلك لتسهيل إدراك معاني الرموز على القارئ، لكن الرمز اللوني غير ضروري في الجبر البولياني.

\(p\)\(\neg p\)\(\neg(\neg p)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)

ونلاحظ أن قيمة الناتج من نفي \(\neg p\) مكافئة لقيمة المتغير الأصلي \(p\)، وهو ما نعبر عنه بالقول الشائع ”نفي النفي إثبات“، والأقواس في التعبير \(\neg(\neg p)\) ليست ضرورية وإنما استعملت للتوضيح، ويمكن أن يكتب نفي النفي في صورة \(\neg\neg p\).

في التعبير اللغوي عن القضية المنطقية، دخول معامل النفي على المتغير المنطقي \(p\) يعادل التعبير عن نقيض القضية التي يعبر عنها هذا المتغير. على سبيل المثال:

\(p\)\(\neg p\)

القاهرة عاصمة مصرالقاهرة ليست عاصمة مصر
الدرفيل يعيش في البحار فقطالدرفيل لا يعيش في البحار فقط
لا أحد يحب الحريةالكل يحب الحرية
كل الشموس نجومليس من الشموس ما هو نجم

ويجب الانتباه إلى معنى النقيض، فهو ليس فقط المختلف، وقد ناقشت هذا بتفصيل أكثر في حديثي عن قانون التفكير الثاني.

ولا يلزم أن يدخل معامل النفي على قضية بسيطة فقط، بل يمكن أن يدخل على قضية مركبة، والقضية البسيطة يعبر عنها في الجبر البولياني متغير منطقي واحد، والقضية المركبة يعبر عنها عدد من المتغيرات المنطقية مرتبطة ببعضها بمعاملات ثنائية (وقد يدخل على بعضها معاملات أحادية).

ناتج نفي القضية يكون صادقاً إذا كانت كاذبة ويكون كاذباً إذا كانت صادقة.

وجرى العرف في المنطق البولياني على أن المتغير المنطقي يعبر عن قضية موجبة (affirmative proposition) وتعبر عنها جملة تثبت شيئاً أو تقرر صفة لشيء (مثل قضية ’القاهرة عاصمة مصر‘)، وهذا بخلاف القضية السالبة (negative proposition) التي تنفي شيئاً أو تنزع صفة ما عن شيء (مثل قضية ’القاهرة ليست عاصمة مصر‘)، وذلك لأن نفي النفي إثبات كما رأينا، واستعمال معامل النفي مع متغير \(p\) يعبر عن قضية سالبة يجعل من \(\neg p\) مكافئاً لقضية موجبة، لكن في الجبر البولياني المتغير نفسه يرمز له بحرف واحد فقط، ولا سبيل للمستخدم إلى معرفة أن هذا الحرف يعبر عن قضية سالبة، فإذا سبقه معامل النفي أُعطِي المستخدم إيحاء خاطئاً أن \(\neg p\) يعبر عن قضية سالبة، ولأن الغرض من استخدام المنطق الرياضي التخلص من الالتباس، يكون من الأفضل استعمال المتغيرات المنطقية للتعبير عن قضايا موجبة. هذا تفضيل وليس ضرورة.

الاتصال (Conjunction)

يُعَبّّر عن معامل الاتصال في الجبر البولياني بالرمز \(\wedge\) ويوضع بين المتغيرين الذين يربط بينهما، واتصال المتغير \(p\) بالمتغير \(q\) يُعَبّّر عنه بالشكل \((p\wedge q)\) ويربط معامل الاتصال بين متغيرين منطقيين فتكون قيمة الناتج صدقاً فقط إذا كانا كلاهما صادقاً، وتكون كذباً في كل الأحوال الأخرى. واستخدام الأقواس في هذه الحالة هو الأساس، لكن يجوز إهماله في بعض الحالات كما سأناقش في مقال لاحق. وفيما يلي جدول الصدق لعملية الاتصال.

\(p\)\(q\)\((p\wedge q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

واجتماع قضيتين هو أن يكونا صادقتين معاً، وعليه فإن ناتج الاتصال يكون صادقاً إذا اجتمعت القضيتان اللتان يربط بينهما ويكون كاذباً في غير ذلك من الأحوال. وتسمية ’الاتصال‘ من وجوب أن تتصل القضيتان في صدقهما لكي يكون الرابط بينهما صادقاً كما نرى في جدول الصدق. وكما سأناقش في مقال لاحق، اتصال أكثر من قضيتين يكون صادقاً فقط في حال اجتماع كل القضايا ويكون كاذباً في كل الأحوال الأخرى، فاتصال الصدق بين القضايا واجب لتحقيق صدق ناتج الاتصال المنطقي مهما كان عدد القضايا.

ناتج الاتصال بين قضيتين يكون صادقاً فقط في حالة صدق القضيتين معاً، ويكون كاذباً في كل الأحوال الأخرى.

للتعبير عن الاتصال باللغة الطبيعية عادة ما يستخدم حرف العطف ’و‘، لكن يمكن التعبير عنه بطرق أخرى، فعلى سبيل المثال، كل الآتي يعبر عن اتصال القضية المنطقية ’التفاح من الفواكه‘ والقضية المنطقية ’القط من الثدييات‘.

  • التفاح من الفواكه والقط من الثدييات
  • التفاح من الفواكه وكذلك القط من الثدييات
  • القط من الثدييات كما أن التفاح من الفواكه
جدول الصدق لاتصال قضية ’التفاح من الفواكه‘ وقضية ’القط من الثدييات‘
’التفاح من الفواكه‘’القط من الثدييات‘’التفاح من الفواكه والقط من الثدييات‘
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

وتحديد إذا ما كان الربط بين قضيتين اتصال أم خلاف ذلك مسؤولية مستخدم المنطق كما سبق الذكر، والأساس في هذا التحديد هو تعريف الاتصال كما في جدول الصدق، فإذا تحقق صدق الربط بينهما وكانت إحداهما كاذبة فالربط في هذه الحالة ليس اتصالاً.

فمثلاً، قولنا ”القمر لا يُرَى والشمس في كبد السماء“ قد يكون اتصالاً وقد لا يكون كذلك على حسب المعنى المفهوم من الجملة، فإذا كانت تقريراً للواقع—أي أنني أقرر أن القمر لا يُرَى الآن وأن الشمس في كبد السماء الآن—فهو اتصال، وفي هذه الحالة فالسياق هو الوقت الحاضر ويجب حصر أي استنتاج في هذا السياق، أما إذا كان المعنى المفهوم من الجملة هو التعميم فالربط شرطي وليس اتصالاً، وتُفهَم الجملة على أنها مكافئة لجملة ”إذا كانت الشمس في كبد السماء فالقمر لا يُرَى“، وفي هذه الحالة قد يصدق أن القمر لا يرى ولا يصدق أن الشمس في كبد السماء وتكون القضية المركبة غير كاذبة (أي صادقة)، فالقمر لا يُرَى في المحاق ولا يُرَى لكثافة الغيوم.

جدول الصدق لتعميم المعنى من قضية ’القمر لا يُرَى والشمس في كبد السماء‘. لاحظ أن الجدول يختلف عن جدول الصدق للاتصال المنطقي.
’القمر لا يُرَى‘’الشمس في كبد السماء‘’القمر لا يُرَى والشمس في كبد السماء‘
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)

وبوجه عام يضع الاتصال المنطقي شروطاً قاسية لصدق الربط بين القضايا المنطقية لأنه يتطلب أن تجتمع كلها لكي يصدق الربط، وغالباً ما يستخدم الاتصال المنطقي للتعبير عن وجوب شيئين أو أكثر لا عن التخيير بين أشياء. وعملية الاتصال في المنطق مشابهة لعملية التقاطع (intersection) في نظرية المجموعات (set theory)، بل إن تعريف التقاطع في نظرية المجموعات يعتمد على الاتصال المنطقي.

الانفصال (Disjunction)

يُعَبَّر عن معامل الانفصال في الجبر البولياني بالرمز \(\vee\)، وانفصال المتغير \(p\) عن المتغير \(q\) يُعَبَّر عنه بالشكل \((p\vee q)\) ويربط معامل الانفصال بين متغيرين منطقيين فتكون قيمة الناتج كذباً فقط إذا كانا كلاهما كاذبين، وتكون صدقاً في كل الأحوال الأخرى. واستخدام الأقواس في هذه الحالة هو الأساس، لكن يجوز إهماله في بعض الحالات كما سأناقش في مقال لاحق. وفيما يلي جدول الصدق لعملية الانفصال.

\(p\)\(q\)\((p\vee q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

وارتفاع قضيتين هو أن يكونا كاذبتين معاً، وعليه فإن ناتج الانفصال يكون كاذباً إذا ارتفعت القضيتان اللتان يربط بينهما ويكون صادقاً في غير ذلك من الأحوال. وتسمية ’الانفصال‘ من أن صدق كل قضية بشكل منفصل يؤدي إلى صدق الناتج، ونرى ذلك في جدول الصدق للانفصال. وكما سأناقش في مقال لاحق، انفصال أكثر من قضيتين يكون كاذباً فقط في حال ارتفاع جميع القضايا ويكون صادقاً في كل الأحوال الأخرى، فصدق كل قضية منفصلة عن غيرها من القضايا يكفي لتحقيق صدق ناتج الانفصال المنطقي مهما كان عدد القضايا.

ناتج انفصال قضيتين يكون كاذباً فقط في حالة كذب القضيتين معاً، ويكون صادقاً في كل الأحوال الأخرى.

للتعبير عن الانفصال باللغة الطبيعية عادة ما يستخدم حرف العطف ’أو‘، لكن يمكن التعبير عنه بطرق أخرى. في قول مثل ”أدفع العدوان عن وطني أو أموت في سبيل ذلك“، يمكن أن تصدق القضية الأولى (دفع العدوان عن الوطن) وتكذب الثانية (عدم موت المدافع) أو تكذب الأولى (فشل دفع العدوان عن الوطن) وتصدق الثانية (موت المدافع) وقد تجتمع القضيتان، لكن المفهوم من جملة مثل هذه أن ارتفاع القضيتين غير مقبول (أمر كاذب) وأن القائل لن يرضى إلا بتحقق إحداهما. وهكذا فالتعبير انفصال منطقي.

جدول الصدق لانفصال قضية ’أدفع العدوان عن وطني‘ وقضية ’أموت في سبيل ذلك‘
’أدفع العدوان عن وطني‘’أموت في سبيل ذلك‘’أدفع العدوان عن وطني أو أموت في سبيل ذلك‘
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

وما زال المستخدم مسؤولاً عن فهم المعنى. فمثلاً، إذا أردت أن تعرف اختياراتك الممكنة من قائمة الأشربة في أحد المقاهي، وسألت النادل عن المتاح فأجاب ”شاي وقهوة وسحلب وزنجبيل ومشروبات غازية“ فهل معنى ذلك اتصال أم انفصال؟ الأمر يتوقف على ما تريد التعبير عنه. إذا كان المراد التعبير عنه هو المتاح في المقهى فالربط اتصال، لأن كلام النادل لا يصدق إلا إذا كانت هذه جميعها متاحة فعلاً في المقهى، أما إذا كان المراد التعبير عنه هو ما ستطلبه لتشرب فالربط انفصال، إذ لا يتحتم عليك أن تطلب هذه جميعها وإنما تكفي واحدة منها فقط. لاحظ أن التعبير اللفظي هنا استعمل فيه حرف العطف ’و‘ الذي غالباً ما يقترن بعملية الاتصال.

فماذا عن قولنا ”تسافر من القاهرة إلى الإسكندرية بالقطار أو بالسيارة“؟ هل هذا يعد انفصالاً؟ الربط يصدق إذا صدقت القضية الأولى وسافرت بالقطار، ويصدق أيضاً إذا صدقت القضية الثانية وسافرت بالسيارة، لكن هل يمكن أن تجتمع القضيتان؟ بمعنى هل يمكن أن تسافر من القاهرة إلى الإسكندرية بالقطار وكذلك بالسيارة في نفس السياق (نفس الوقت)؟ الربط السابق لا يعبر عن انفصال منطقي، لأن اجتماع القضيتين مستحيل (أي كاذب)، وهو ما لا يتفق مع تعريف الانفصال من جدول الصدق. هذا النوع من الربط هو الانفصال الحصري الذي أناقشه لاحقاً.

جدول الصدق المعبر عن القضية المركبة ’تسافر من القاهرة إلى الإسكندرية بالقطار أو بالسيارة‘. لاحظ أن الجدول يختلف عن جدول الصدق للانفصال المنطقي.
’تسافر بالقطار‘’تسافر بالسيارة‘’تسافر بالقطار أو بالسيارة‘
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

وقد يقول قائل إن السفر من القاهرة إلى الإسكندرية ممكن بالطائرة أيضاً أو بالحافلة، وهكذا يمكن تحقق السفر من القاهرة إلى الإسكندرية مع ارتفاع كل من القضيتين ’تسافر بالقطار‘ و’تسافر بالسيارة‘. والخلط هنا يكمن في تعريف القضية المنطقية التي يعبر عنها المتغير البولياني، فالمتغير الأول يعبر عن ’السفر من القاهرة إلى الإسكندرية بالقطار‘ والثاني يعبر عن ’السفر من القاهرة إلى الإسكندرية بالسيارة‘، ونزع وسيلة السفر عن فعل السفر يغير معنى القضية المنطقية التي يعبر عنها المتغير المنطقي إذ أنه لا يعبر عن فعل السفر في حد ذاته وإنما عن وسيلته كذلك، وقد ناقشت في المقال السابق أهمية استعمال المعنى ذاته للمتغير المنطقي داخل نفس السياق. وفي واقع الأمر القضيتان في هذه الحالة ليستا بسيطتين، وأترك للقارئ تحليلهما إلى قضايا أبسط مع الربط بينها كتمرين.

وبوجه عام يضع الانفصال المنطقي شروطاً متساهلة جداً لصدق الربط بين القضايا المنطقية لأن صدق واحدة منها على الأقل يكفي لتحقق صدق الربط، وغالباً ما يستخدم الانفصال المنطقي للتعبير عن التخيير بين شيئين أو أكثر، ويمكن أن يشمل الاختيار جميعها، ولا يلزم أن يقتصر على أحدهما أو بعضها، لكن يلزم اختيار أحدها على الأقل. وعملية الانفصال في المنطق مشابهة لعملية الاتحاد (union) في نظرية المجموعات، بل إن تعريف الاتحاد في نظرية المجموعات يعتمد على الانفصال المنطقي.

الانفصال الحصري (Exclusive disjunction)

يُعَبَّر عن معامل الانفصال الحصري في الجبر البولياني بالرمز \(\oplus\)، والانفصال الحصري للمتغير \(p\) عن المتغير \(q\) يُعَبَّر عنه بالشكل \((p\oplus q)\) ويربط معامل الانفصال الحصري بين متغيرين منطقيين فتكون دلالة الناتج صادقة إذا اختلف المتغيران في قيمتهما، وتكون كاذبة إذا اتفقا في قيمتهما. وفيما يلي جدول الصدق لمعامل الانفصال الحصري.

\(p\)\(q\)\((p\oplus q)\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)
\(\color{blue}\top\)\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{blue}\top\)\(\color{blue}\top\)
\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)\(\color{red}\bot\)

وتسمية هذا النوع من الربط بالانفصال ’الحصري‘ ترجع إلى حصر صدق ناتج الربط في وجوب انفصال القضيتين، أي أن اجتماع قضيتين ينتج ربطاً كاذباً في حالة الانفصال الحصري. ولأن اختلاف قيمة المتغيرين هو فقط ما ينتج ربطاً صادقاً، يمكن النظر إلى الانفصال الحصري على أنه عدم التساوي بين متغيرين منطقيين، فمثلاً في الرياضيات عموماً التعبير \(x\neq y\) يكون صادقاً فقط إذا كانت قيمة المتغير \(x\) تختلف عن قيمة المتغير \(y\)، ولأن الجبر البولياني فيه قيمتان فقط، فاختلاف قيمة المتغير \(p\) عن قيمة المتغير \(q\) يعني بالضرورة أن أحدهما صادق والآخر كاذب، وهكذا يكون التعبير \(p\neq q\) مكافئاً للتعبير \((p\oplus q)\)، ولأن وجود رمزين للتعبير عن نفس الشيء لا داعي له، يستخدم الانفصال الحصري بمعنى عدم التساوي بين متغيرين منطقيين.

ناتج الانفصال الحصري بين قضيتين يكون صادقاً إذا كانت إحداهما صادقة والأخرى كاذبة، ويكون كاذباً إذا اتفقتا في الصدق أو الكذب.

وكما ذكرت فيما سبق، يمكن التعبير عن الانفصال الحصري باستخدام حرف العطف ’أو‘، ويمكن فهم أن الانفصال حصري من معنى القضيتين، وإذا كان المعنى لا يُفهَم بالضرورة من القضيتين يضاف إلى الجملة ما يؤكد هذا المعنى. فمثلاً، الانفصال الحصري بين قضية ’تشتري حلوى‘ وقضية ’تشتري طعاماً‘ يمكن التعبير عنه ”بقول تشتري حلوى أو تشتري طعاماً وليس كلاهما“. وفي اللغة العربية يمكن التعبير عن الانفصال الحصري باستخدام ’إما... وإما...‘، ففي المثال السابق يجوز القول ”إما تشتري حلوى وإما تشتري طعاماً“، ولفظة ’إما‘ في معاجم اللغة تستعمل للتخيير ولا تعني بالضرورة اختياراً واحداً فقط من كثير، لكنني وجدت استعمالها الشائع يتفق مع اختيار واحد فقط كما ناقشت في الحديث عن قانون عدم التناقض.

يراعى أن الربط بين أكثر من متغيرين بشكل متسلسل بمعامل الانفصال الحصري لا يعني بالضرورة أن أحدها فقط صادق. وأعني بالربط المتسلسل بين المتغيرات المنطقية \(p,q,r,s\) تركيباً منطقياً مثل \(p\oplus q\oplus r\oplus s\). مثل هذا الاستعمال للانفصال الحصري يكون ناتجه صادقاً إذا كان عدد المتغيرات الصادقة فردياً، ويكون ناتجه كاذباً إذا كانت عدد المتغيرات الصادقة زوجياً. ولن أتطرق أكثر من ذلك للانفصال الحصري في هذا المقال، فما كنت أود التأكيد عليه هو أنه يختلف تماماً عن الانفصال من الجهة المنطقية وإن كانا قد يتشابهان في أسلوب التعبير اللفظي، ويجب على مستخدم الجبر البولياني أن يكون حريصاً لكي لا يخلط بينهما.

الخلاصة

يوجد معامل بولياني أحادي واحد وهو معامل النفي، وتوجد عشرة طرق ذات قيمة (non-trivial) تقابلها عشرة معاملات ثنائية للربط بين متغيرين منطقيين، ناقشت منها في هذا المقال الاتصال والانفصال والانفصال الحصري.

المتغير المنطقي في الجبر البولياني يعبر عن قضية منطقية (يفضل أن تكون بسيطة وموجبة لتجنب الوقوع في أخطاء)، وقيمة المتغير هي دلالة القضية من جهة الصدق أو الكذب.

معامل النفي يدخل على متغير منطقي واحد فيكون الناتج خلاف قيمة هذا المتغير، فإذا كان صدقاً يكون الناتج كذباً والعكس صحيح.

معامل الاتصال يربط بين متغيرين منطقيين فتكون قيمة الربط صادقة فقط إذا كان المتغيران كلاهما صادقاً، وتكون كاذبة في كل الأحوال الأخرى. يمكن استعمال معامل الاتصال للربط المتسلسل بين أكثر من متغيرين، وتكون قيمة الربط صادقة فقط إذا كانت كل المتغيرات صادقة، وتكون كاذبة في كل الأحوال الأخرى. الاتصال غالباً ما يستخدم في التعبير عن وجوب شيئين أو أكثر.

معامل الانفصال يربط بين متغيرين منطقيين فتكون قيمة الربط صادقة إذا كان أحدها على الأقل صادقاً، وتكون كاذبة إذا كانت كلها كاذبة. يمكن استعمال معامل الانفصال للربط المتسلسل بين أكثر من متغيرين، وتكون قيمة الربط صادقة إذا كان أحدها على الأقل صادقاً، وتكون كاذبة إذا كانت كلها كاذبة. الانفصال غالباً يستخدم في التخيير بين شيئين أو أكثر، على أن يلزم اختيار أحدها على الأقل ويمكن اختيار أكثر من واحد منها أو جميعها.

معامل الانفصال الحصري يربط بين متغيرين منطقيين فتكون قيمة الربط صادقة إذا اختلف المتغيران في قيمتهما وتكون كاذبة إذا اتفقا. الانفصال الحصري بين متغيرين يكافئ عدم التساوي بينهما في القيمة المنطقية. إذا استعمل الانفصال الحصري للربط المتسلسل بين أكثر من متغيرين تكون قيمة الربط صادقة إذا كان عدد المتغيرات الصادقة فردياً وتكون كاذبة إذا كان العدد زوجياً.

في جميع الأحوال، عبء فهم المعنى يقع بالكامل على مستخدم المنطق البولياني ولا توجد ألفاظ تحتم نوعاً من الربط المنطقي، بل يجب التفكير في كل حالة على حدة والرجوع إلى جداول الصدق الخاصة بالعمليات البوليانية لتحديد نوع الربط.


المقال التالي: ’الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (٢)‘


الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (٢)

المقال السابق: ’الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (١)‘ ناقشت في المقال السابق عدداً من المعاملات المنطقية هي المعامل الأحادي الوحي...