بحث هذه المدونة الإلكترونية

الجبر البولياني: مقدمة

جورج بول[1]

الجبر البولياني (Boolean algebra) هو فرع من الرياضيات يختص بالبحث في الوصول إلى استنتاجات من قضايا منطقية (propositions) بناء على دلالتها من جهة الصدق أو الكذب وعلى كيفية الربط بينها، ويعتبر الجبر البولياني من أوائل ما تم تطويره في المنطق الرياضي (mathematical logic)، والهدف من تطوير المنطق الرياضي هو التعامل مع المنطق بلغة الرياضيات (mathematical language) التي تختلف عن اللغات الطبيعية (natural languages) في أنها خالية من الغموض (unambiguous) ودقيقة (rigorous) تلتزم بقواعد صارمة، ولهذا يمكن التأكد من استنتاجاتها باتباع القواعد والوضوح في التعريفات.

والجبر البولياني تم تطويره على يد عالم الرياضيات الإنجليزي جورج بول (George Boole) الذي عاش من ١٨١٥ إلى ١٨٦٤ ميلادية، والذي سُمِّي هذا النوع من المنطق الرياضي على اسمه. وهو مبني على قوانين التفكير الأساسية والتي ترتكز بدورها على أن القضايا المنطقية إما صادقة (true) وإما كاذبة (false)، وهو ما يطلق عليه مبدأ القيمة الثنائية (principle of bivalence)، ولا تتعامل مع ’احتمال‘ صدق أو كذب القضية، كما لا تتعامل مع ’تغير‘ حالة الصدق أو الكذب بتغير الظروف أو وجهات النظر أو حدود المعرفة البشرية.

هذا التبسيط في المنطق البولياني هو ما يضع حدوداً لما يمكن استعماله فيه وما يمكن استنتاجه منه، لكنه هو أيضاً الأساس في أن المنطق البولياني واسع الانتشار (ubiquitous) بدرجة كبيرة ، وهو أيضاً الأساس في قدرة المنطق البولياني على التعامل بشكل آلي (mechanical) لا يتطلب تفكيراً مع كل ما هو ثنائي، الأمر الذي جعله الأساس في عمل أجهزة الحاسبات الآلية (computers).

القضايا المنطقية القابلة للاستعمال

لكي تكون القضية قابلة للاستعمال في الجبر البولياني يجب أن تكون تامة الصدق أو تامة الكذب (حتى ولو في داخل سياق معين)، وأي جملة لا يمكن فهم دلالتها على أنها إما صدق تام وإما كذب تام لا تصلح للاستعمال في الجبر البولياني. وعادة ما يمكن الاتفاق على دلالة الجملة الخبرية من الصدق أو الكذب، والجملة الخبرية (statement) ليست هي الجملة الاسمية في اللغة العربية، وإنما هي الجملة التي تخبرنا بمعنى مفهوم، وقد تكون من جهة اللغة العربية جملة اسمية أو جملة فعلية، ولهذا يستخدم أحياناً تعبير ’الجملة الخبرية‘ كبديل مكافئ لتعبير ’القضية المنطقية‘ حينما تكون دلالة القضية إما صدقاً وإما كذباً.

ومن أمثلة الجمل التي لا تصلح للاستعمال في الجبر البولياني كل ما صيغ كأمر أو سؤال أو تعجب أو استنكار أو في صورة أسلوب مدح أو ذم، وعلى الرغم من أن بعض هذه الصيغ قد تخبرنا بمعنى يُفْهَم على أنه صدق أو كذب، إلا أن القضايا في المنطق يجب أن تُصاغ في صورة واضحة ليس فيها شبهة التباس، ولا يُتْرَك للقارئ مهمة استنباط المعنى من التركيب اللغوي.

القضايا الصالحة للاستعمال في الجبر البولياني هي فقط الجمل التي يمكن فهم دلالتها بشكل واضح على أنها إما صادقة تماماً وإما كاذبة تماماً، حتى وإن كان داخل سياق معين.

فلا يصح مثلاً أن تُعتَبر جملة ”ما أكرمك!“ قضية منطقية، فقد تعني التعجب من الكرم بالفعل أو السخرية من شدة البخل، والمعنيان على طرفي نقيض. وجملة ”اشهد بالحق“ لا يمكن فهمها على أنها صادقة أو كاذبة، وكل ما يمكن أن يُفهَم منها أن شخصاً يأمر أو يوصي آخر بالشهادة بالحق، كما أن سؤالاً مثل ”كم الساعة الآن؟“ لا يُفهَم على أنه صادق أو كاذب، وإنما تُفهَم الجملة على أن السائل يطلب من المسؤول معرفة الساعة وقت توجيه السؤال، وكلها جمل يشوبها غموض المعنى، والغموض لا يجوز في الجبر البولياني.

طائر الكيوي من الطيور التي لا تطير[2]

وربما يكون صدق أو كذب الجملة مطلقاً في سياق محدد فقط ومختلفاً خارج هذا السياق، ولا بأس في ذلك طالما حُصِر الاستنتاج في نفس السياق، فمثلاً قولنا ”هتلر مات“ صدق مطلق في الوقت الحاضر، لكنه لم يكن كذلك عام ١٩٤٣، وقولنا ”الجو حار“ قد يكون صدقاً مطلقاً في مصر في منتصف الصيف، إلا أنه كذب مطلق في الوقت نفسه في القارة القطبية الجنوبية.

وبعض الجمل الخبرية بضرورة الحال لا تناسب الجبر البولياني على الإطلاق، فقولنا ”بعض الطيور لا تطير“ ليس صدقاً مطلقاً ولا كذباً مطلقاً، لأن معنى الجملة كذلك أن ”بعض الطيور تطير“، وهكذا فهي تعبر عن صدق جزئي في داخل السياق نفسه. أمثال هذه الجمل لها نوع آخر من المنطق يناسبها هو ’منطق القياس‘ (syllogism)، وحالياً في المنطق الرياضي يشمل ’منطق الرتبة الأولى‘ (first-order logic) منطق القياس والجبر البولياني.

القضايا البسيطة والمركبة

تسمى القضية المنطقية بسيطة (simple) إذا كانت جملتها تعبر عن معنى مكتمل واحد بسيط لا يمكن تقسيمه إلى جمل أبسط مع الربط بينها، ومن أمثلة القضايا البسيطة الآتي:

  • الشمس ساطعة
  • الكلب من الحيوانات
  • مدينة شبين الكوم عاصمة مصر
  • الانفجار السكاني ليس مشكلة
  • التحزب الأعمى بغيض

لاحظ أن بعض القضايا السابقة كاذب، فمدينة شبين الكوم ليست عاصمة مصر، وبعضها منفي مثل الحديث عن الانفجار السكاني، وبعضها يتحدث عن صفات شيء معين مثل سطوع الشمس، وبعضها يتحدث عن تصنيفات مثل إدراج الكلب تحت تصنيف الحيوانات، وفيما يتحدث البعض منها عن أشياء مادية يتحدث الآخر عن أشياء مجردة مثل التحزب. العامل المشترك بينها أنها تعبر عن معنى واحد لا يمكن تقسيمه إلى جمل أبسط.

أما القضايا المركبة (compound) فيمكن تقسيم جملها إلى قضايا بسيطة مع الربط بينها بشكل أو آخر، والقضايا التالية كلها مركبة:

  • الجو بارد والسماء تمطر
  • الكلب من الحيوانات أو هو من الثدييات
  • لو كان الفقر رجلاً لقتلته
  • إذا كان بإمكانك فهم هذه الجملة فأنت تقرأ العربية والعكس صحيح
  • إذا كان تعلم المنطق شيئاً جيداً فسأتعلمه حتى لو كان تعلمه صعباً

الوحدات البنائية للجبر البولياني هي القضايا البسيطة

ولهذا فإن الوحدات البنائية للجبر البولياني هي القضايا البسيطة، فالقضايا المركبة يمكن التعبير عنها في صورة قضايا بسيطة والعكس غير ممكن، والجبر البولياني يشتمل على القواعد التي تحدد دلالة القضايا المركبة من الصدق أو الكذب بناء على دلالة القضايا البسيطة المكونة لها وعلى كيفية الربط بينها.

فصل المعنى عن الدلالة

جوتلوب فريجيه[3]

من أهم مميزات الجبر البولياني (وربما كذلك من أهم العوامل التي تحد من استعماله في بعض السياقات) الفصل التام بين المعنى (sense) والدلالة (reference)، وقد فصل بينهما أولاً الفيلسوف وعالم الرياضيات الألماني جوتلوب فريجيه (Gottlob Frege) فالدلالة في مفهوم فريجيه هي حالة الجملة من الصدق أو الكذب. الجبر البولياني لا يهتم إلا بدلالة القضايا المنطقية، وهكذا يمكن الوصول إلى استنتاجات حتمية بشكل آلي من المقدمات المنطقية ويعتمد صدق أو كذب الاستنتاج فقط على صدق أو كذب المقدمات وكيفية الربط بينها.

اعتماد المنطق البولياني حصراً على صدق أو كذب المقدمات يجعل من الممكن وضع قواعد رياضية جبرية محدودة العدد يمكن من خلالها الوصول إلى استنتاجات سليمة تعتمد على صورة التركيب المنطقي (logical form) وليس على معناه، ولأن عدد المعاني الممكنة يفوق الحصر فعدد وسائل الربط بينها يفوق الحصر بالضرورة، بينما حالتا الصدق والكذب اثنتان فقط، وطرق الربط بينهما محدودة جداً كما سنرى لاحقاً. وهكذا يلقي الجبر البولياني عبء المعنى على المستخدم بينما يوفر له صورة رياضية دقيقة يمكن من خلالها الوصول إلى استنتاجات معقدة يصعب الوصول إليها بدونه، بل ويمكنه من تبسيط الحجة المنطقية.

قواعد الجبر البولياني لا تتأثر مطلقاً بمعنى القضايا، وإنما تعتمد فقط على حالة القضايا من الصدق أو الكذب وكيفية الربط بينها.

كمثال على ما سبق، إذا استُعمِلت الجملتان البسيطتان الآتيتان واللتان لا يُفهَم لهما معنى واضح:

  • الحبشرون غلادة
  • الكلاشخ مسانيع

لصياغة هذه الجملة المركبة: ”إذا كان من الضروري أن تكون الكلاشخ مسانيع ليكون الحبشرون غلادة فالكلاشخ مسانيع أو الحبشرون غلادة“، فالجبر البولياني يمكن أن يُستَخدم لتبسيط الجملة المركبة إلى جملة بسيطة وهي ”الحبشرون غلادة“، وصدق أو كذب الجملة المركبة يكون مطابقاً لصدق أو كذب هذه الجملة البسيطة تماماً، أي أن الجملة الثانية لا تؤثر في دلالة الجملة المركبة على الإطلاق، وهذا الاستنتاج صالح لكل المعاني التي يمكن أن تفهم بها الجملتان!

ولهذا فإن تطور الجبر البولياني كان نقلة نوعية في المنطق الرياضي، إذ أن قواعده تنطبق بغض النظر عن معاني الجمل، وفي المثال السابق إذا استُبدِلت القضيتان المذكورتان بالآتي:

  • أن تكون عاقلاً
  • أن تكون إنساناً

فالجملة الشرطية الآتية: ”إذا كان من الضروري أن تكون إنساناً لكي تكون عاقلاً فأنت إنسان أو أنت عاقل“، مكافئة تماماً لقولنا ”أنت عاقل“، وقد يبدو أن هذا الاستنتاج غير بديهي على الإطلاق، بل قد تبدو الجملة غير مفهومة، لكن المنطق البولياني قادر على تحليلها وتبسيطها. وشرح كيفية الوصول لهذا الاستنتاج بدون استعمال الجبر البولياني أمر في غاية الصعوبة، وفي مقال تالي سأتعرض لصيغة الشرط في الجبر البولياني وما تعنيه، لكن المثال المعطى أعلاه يوضح قيمة الجبر البولياني في المنطق وقدر ما أحدثه من تأثير.

ولأن المعنى مفصول تماماً عن الدلالة، يجب على المستخدم تحري الدقة الشديدة في المعنى، إذ أن تغيّر المعنى في داخل نفس الاستنتاج يؤدي حتماً إلى نتيجة خاطئة. على سبيل المثال، الاستنتاج التالي خاطئ على الرغم من اتباع قواعد الجبر البولياني، وسبب الخطأ تغيّر معنى كلمة ’عين‘ داخل نفس الاستنتاج.

  • إذا غطيت عين الشيء فإنه لا يرى
  • عين الماء مغطاة
  • نستنتج أن الماء لا يرى

وعلى الرغم من سذاجة المثال السابق، إلا أنه يوضح المعنى المقصود، ويوضح أيضاً نقطة في منتهى الأهمية، وهي أن كذب الاستنتاج لا يتبع بالضرورة من خطأ أسلوب الاستنتاج، فمن المعروف أن الماء لا يرى، لكن استنتاج ذلك من تغطية عين الماء استنتاج فاسد. والمغالطات المنطقية الناتجة عن هذا الخطأ عادة لا تكون بمثل هذا الوضوح وإنما تنتج من اختلاف طفيف في المعنى، لكن لهذا مقال آخر. وقد ناقشت سابقاً أهمية الدقة في تعريف المعاني في حديثي عن قانون التفكير الأول.

رموز الجبر البولياني

القضايا المنطقية في الجبر البولياني يتم التعبير عنها كمتغيرات (variables) رياضية تسمى المتغيرات المنطقية (propositional variables)، وبخلاف الشائع في الرياضيات بوجه عام من استخدام للحروف \(a,b,c,x,y,z\) للتعبير عن المتغيرات، جرى العرف على تسميتها \(p,q,r,s,t\) في الجبر البولياني، وهو ما سأتبعه في هذا المقال وما يليه من نقاش للجبر البولياني.

الجبر البولياني فيه قيمتين منطقيتين ثابتتين يسمى كل منهما ثابت بولياني (Boolean constant) وهما الصدق أو الكذب، وعادة ما يعبر عن قيمة الصدق بالرمز \(\top\) المشتق من حرف T وهو أول حروف كلمة true، وعن الكذب بالرمز \(\bot\) وهو معكوس الرمز السابق (لأن الصدق نقيض الكذب)، لكن التعبير عن هاتين القيمتين بأي طريقة أمر مقبول تماماً طالما انتفت شبهة الالتباس، وقد نعبر عن الصدق بالحرف T أو t وعن الكذب بالحرف F أو f، وفي مجال الحاسبات الآلية يُعَبَّر عن الصدق بالقيمة \(1\) وعن الكذب بالقيمة \(0\).

قيمة المتغير المنطقي في الجبر البولياني هي دلالة القضية المنطقية التي يعبر عنها من جهة كذبها أو صدقها، فمثلاً إذا كان المتغير \(p\) يعبر عن قضية أن ’الشمس تشرق من جهة الغرب‘ تكون قيمته \(\bot\) لأن القضية كاذبة وإذا كان يعبر عن قضية أن ’الهواء أخف من الماء‘ تكون قيمته \(\top\) لأن القضية صادقة.

في المنطق البولياني يوجد أيضاً عدد من الروابط المنطقية (logical connectives) والتي تسمى أيضاً المعاملات المنطقية (logical operators) أو المعاملات البوليانية (Boolean operators)، وتسمى ’روابط‘ لأنها قد تربط بين قضيتين أو أكثر، وتسمى ’معاملات‘ لأنها قد تعمل على قضية واحدة أو أكثر، وهذه القضايا قد تكون بسيطة أو مركبة، وتتحدد دلالة التركيب المنطقي فقط بناء على دلالة مكوناته من القضايا البسيطة وعلى كيفية الربط بينها بالمعاملات المنطقية.

وإذا كان المعامل المنطقي يدخل على قضية واحدة فقط سمي معاملاً أحادياً (unary operator) وإذا كان يربط بين قضيتين سمي معاملاً ثنائياً (binary operator)، والمعامل الثنائي يحتاج إلى قضيتين ولا يجوز استعماله مع قضية واحدة. ولأن القضية المركبة من قضيتين بسيطتين لها أيضاً دلالتها من الصدق أو الكذب، ولأن كل الضروري في القضية المنطقية في الجبر البولياني هو أن يكون لها هذه الدلالة، يمكن بناء تركيبات منطقية معقدة باستعمال قضايا بسيطة وعدد محدود من الروابط المنطقية.

والمعامل المنطقي الأحادي الوحيد هو معامل النفي، بينما المعاملات الثنائية التي لها استعمال شائع هي معاملات الاتصال، والانفصال، والانفصال الحصري، والشرط بأنواعه.

الخلاصة

الجبر البولياني المسمى على اسم عالم الرياضيات جورج بول (George Boole) نوع من المنطق الرياضي يختص بالبحث في كيفية الوصول إلى استنتاجات من قضايا منطقية فقط عن طريق اعتبار دلالتها من جهة الصدق أو الكذب وكيفية الربط بينها.

القضايا المنطقية القابلة للاستعمال في الجبر البولياني هي جمل يمكن فهمها على أنها إما صدق تام أو كذب تام، حتى وإن كان داخل سياق معين فقط، وإذا كان الصدق أو الكذب محدودين بسياق يلزم أن يكون الاستنتاج محدوداً بنفس السياق.

القضايا البسيطة تعبر عن معنى مكتمل واحد ولا يمكن تقسيمها إلى قضايا أبسط. القضايا المركبة تتكون من قضايا بسيطة يتم الربط بينها بعدد محدود من الطرق في الجبر البولياني.

قواعد الجبر البولياني لا تتأثر مطلقاً بمعنى القضية، وكل ما يؤثر في ناتج الربط بين القضايا هو دلالتها من الصدق أو الكذب وكيفية الربط بينها. هذا الفصل بين المعنى والدلالة يجعل من الجبر البولياني أداة قوية في المنطق، إلا أنه يلقي بعبء فهم المعنى بالكامل على عاتق مستخدم الجبر البولياني.

المتغير المنطقي في الجبر البولياني يعبر عن قضية منطقية، وقيمة المتغير تكون دلالة القضية من جهة الصدق أو الكذب.

استخدام الجبر البولياني بشكل صحيح يتطلب الدقة في فهم المعنى، كما يستلزم أن يكون معنى القضية التي يعبر عنها المتغير المنطقي ثابتاً داخل السياق نفسه، فتغيره داخل السياق يفسد استنتاج الجبر البولياني.

الصدق والكذب هما القيمتان الثابتتان الوحيدتان في الجبر البولياني، والمعاملات المنطقية تدخل على قضية أو أكثر وتستعمل للربط بين القضايا البسيطة لتكوين قضايا مركبة. ما يدخل من المعاملات على متغير واحد يسمى معاملاً أحادياً وما يحتاج لمتغيرين يسمى معاملاً ثنائياً.


المقال التالي: ’الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (١)‘


نسب المصنفات

  1. صورة جورج بول. Public Domain Mark هذا العمل خالٍ من أي قيود معروفة لحقوق التأليف والنشر. الصورة الأصلية في الرابط.
  2. صورة لطائر الكيوي. بواسطة Glen Fergus. مرخص بموجب رخصة المشاع الابداعي رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف - الترخيص بالمثل 2.5 عام. الصورة الأصلية في الرابط.
  3. صورة جوتلوب فريجيه. Public Domain Mark هذا العمل خالٍ من أي قيود معروفة لحقوق التأليف والنشر. الصورة الأصلية في الرابط.

باستثناء المصنفات المنسوبة أعلاه، يستحق القراءة بواسطة رفيق ميخائيل مرخص بموجب رخصة المشاع الابداعي رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف - غير تجاري - الترخيص بالمثل 4.0 دولي.

هذه الصفحة تستخدم مكتبة ماثجاكس (MathJax Library)

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (٢)

المقال السابق: ’الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (١)‘ ناقشت في المقال السابق عدداً من المعاملات المنطقية هي المعامل الأحادي الوحي...