بحث هذه المدونة الإلكترونية

قوانين التفكير: تشابه المتطابقات


المقال السابق: قانون الوسط المرفوع


نقول إن الشيئين ’س‘ و ’ص‘ متطابقان (identical) إذا كان كلاهما يشير إلى الشيء نفسه أو لهما الجوهر نفسه.

ونقول إن الشيئين ’س‘ و ’ص‘ متشابهان (indiscernible) إذا انعدمت الفروق التي يمكن إدراكها (discernible differences) بينهما.

إذا تطابق شيئان فما يحق لأحدهما يحق بالضرورة للآخر، وكل خاصية لأحدهما هي بالضرورة خاصية للآخر.

جوتفريد فيلهلم لايبنتس[1]

قانون تشابه المتطابقات ومقابله الذي سأناقشه في تدوينة لاحقة هو أحد قانونين حديثي العهد نسبياً عادة ما ينسبان إلى عالم الرياضيات والفيلسوف الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنتس (Gottfried Wilhelm Leibniz)، بخلاف القوانين الثلاثة الأولى التي تنسب عادة إلى أرسطو (Aristotle).

قانون تشابه المتطابقات (indiscernibility of the identicals) ينص على أنه إذا ما تطابق شيئان انعدمت بينهما الفروق التي يمكن إدراكها، وكل ما يحق لأحدهما يحق بالضرورة للآخر، وكل صفة في احدهما هي بالضرورة صفة في الآخر.

قانون تشابه المتطابقات يختلف عن قانون الهوية الذي ينص على أن ”الشيء هو نفسه“، فقانون تشابه المتطابقات يعنى بشيئين وليس بشيء واحد، ويعنى بخصائص الشيئين وليس بالجوهر إذ ينطلق من التأكيد على أن الجوهر واحد. والقانون يبدو بديهياً إلى أن نجد مثالاً يناقضه!

سوبرمان[2]

تستخدم مفارقة الرجل المقنع (masked man paradox) في إطار نقاش هذا القانون لمحاولة التدليل على أنه لا ينطبق على كل الحالات، والمثال المشهور في هذا السياق هو مثال ’سوبرمان‘ (Superman) الذي يظهر للعامة في صورة الرجل الخارق الذي يرتدي زياً مميزاً، لكن له شخصية أخرى هي ’كلارك كنت‘ الصحفي الذي يعمل في صحيفة ’الديلي بلانت‘، وزميلته الصحفية ’لويس لين‘ لا تعرف أن ’سوبرمان‘ هو نفسه ’كلارك كنت‘، وبالنسبة لها هما شخصان مختلفان.

’سوبرمان‘ و’كلارك كنت‘ يشيران إلى الشخص نفسه، ويحق القول عن ’سوبرمان‘ إن ”لويس لين تعرف أنه يطير“ بينما يحق القول عن ’كلارك كنت‘ إن ”لويس لين تعرف أنه لا يطير“، فكيف يتفق هذا مع قانون تشابه المتطابقات الذي يستلزم إذا ما كان ’سوبرمان‘ و’كلارك كنت‘ يشيران إلى الشخص نفسه أن يحق لأحدهما ما يحق للآخر؟ وما ينطبق على ’سوبرمان‘ في مثل هذه المفارقة ينطبق كذلك على أي شخصية مماثلة مثل شخصية زورو (Zorro). فهل يعني ذلك أن قانون تشابه المتطابقات خاطئ؟ أم يعني أنه لا ينطبق على كل الحالات؟ أم يعني أن هناك ما يستلزم توضيحه؟

الخصائص الأحادية والخصائص التعددية

الخاصية الأحادية (monadic property) هي خاصية تتعلق بالشيء ذاته دون الحاجة إلى الإشارة إلى أشياء أخرى. فمثلاً، عندما نقول ”فلان نائم“ فهذه الخاصية أو الصفة فيه لا تحتاج إلى الإشارة إلى أشياء أخرى لنفهمها. كمثال آخر على مثل هذه الخصائص قولنا ”الماء يغلي“ أو ”السماء صافية“ أو ”المصباح منير“ فكلها خصائص أو صفات تتعلق بالشيء نفسه، ومجرد ذكر الشيء والصفة يعطينا معنى واضحاً كاملاً.

أما عندما تتعلق الخاصية أو الصفة بأكثر من شيء، فإنها تسمى خاصية تعددية (polyadic property) وعندما تتعلق بشيئين فقط تسمى خاصية ثنائية (dyadic property)، ومن أبرز الأمثلة على الخصائص الثنائية العلاقات المكانية أو الزمنية. تعبير مثل ’الكتاب فوق‘ ليس له معنى مكتمل، ويلزم لاكتمال المعنى أن نحدد الشيء الآخر الذي يوجد فوقه الكتاب، وتعبير مثل ’الطفولة قبل‘ ليس مكتملاً هو الآخر ويلزم تحديد الشيء الآخر الذي تسبقه الطفولة، وإنما يكتمل المعنى في قول ”الكتاب فوق المنضدة“ أو ”الطفولة قبل الشباب“. هذه الخصائص يستحيل اكتمال معناها بدون الإشارة إلى شيئين.

والمعرفة البشرية بالشيء خاصية ثنائية، وإنما نميل بشكل غريزي إلى استثناء أنفسنا منها واعتبار أنها أحادية تختص بالشيء نفسه فقط لأننا ثوابت في هذه العلاقة من وجهة نظرنا، فما أعرفه عن الأشجار أو البحار أو عن أصدقائي أو أقربائي أو البيت الذي أسكن فيه كلها تشترك فيَّ أنا كطرف من طرفي خاصية المعرفة هذه، وربما يكون لي ولشخص آخر نفس الأصدقاء لكنه يعرف عنهم ما لا أعرفه أو العكس، وربما أسكن في نفس البيت مع شخص آخر لكنه يعرف عن البيت ما لا أعرفه أو العكس، وبالتالي فالمعرفة خاصية ثنائية على أقل تقدير.

سول كريبكي[3]

وحدود المعرفة كان ولا يزال من المشاكل التي تواجه الإنسان عند محاولة الوصول إلى استنتاج منطقي، وفي النصف الثاني من القرن العشرين طور سول كريبكي (Saul Kripke) فرعاً من فروع المنطق الرياضي يسمى المنطق الطوري (modal logic) ليتعامل مع أطوار الحقيقة المختلفة، والمقصود بطور الحقيقة وجهة النظر التي نراها منها، فما هو حقيقي بالضرورة يختلف عما يمكن أن يكون حقيقياً، أو عما هو غير حقيقي بالضرورة، وتشعب من المنطق الطوري عدة فروع طبقاً لوجهات النظر المختلفة التي ينظر إلى الحقيقة منها، وإحدى هذه الوجهات هي الاعتقاد (belief) ويسمى فرع المنطق المتعلق بها منطق المعتقد (doxastic logic) وإحداها المعرفة (knowledge) والتي يختص بدراستها علم المعرفيات (epistemology) ويسمى فرع المنطق المتعلق بها المنطق الطوري المعرفي (epistemic modal logic). وباستخدام المنطق الطوري يمكن رياضياً إثبات[i] أن قانون تشابه المتطابقات ليس له استثناءات على الإطلاق.

وتجب مراعاة أن المعنى البسيط لقانون تشابه المتطابقات يعنى بالخصائص الأحادية للشيء وليس بالخصائص التعددية، لأن الخصائص التعددية قد تتغير طبقاً لتغير الشيء الآخر المتعلق بالخاصية، فلو إنني جالس على مقعد وتحت المقعد قطة، فعلاقة المقعد المكانية بي أنه تحتي، وعلاقته المكانية بالقطة أنه فوقها، فالمقعد نفسه له علاقة مكانية تختلف بحسب اختلاف الشيء الآخر المتعلق بهذه العلاقة.

لكن في مثال ’سوبرمان‘ نجد أن طرفي العلاقة لا يختلفان، فأحدهما هو الشخص نفسه الذي يظهر في هيئة ’سوبرمان‘ أو ’كلارك كنت‘، والآخر هو ’لويس لين‘. وهنا يأتي دور المنطق الطوري في تفسير الاختلاف. المعنى المبسط في هذه الحالة أن كلاً من ’سوبرمان‘ و’كلارك كنت‘ لهما شخصيتان يظهران بهما:

  • ’سوبرمان‘ يمكن أن يظهر في هيئة ’سوبرمان‘ أو في هيئة ’كلارك كنت‘
  • ’كلارك كنت‘ يمكن أن يظهر في هيئة ’سوبرمان‘ أو في هيئة ’كلارك كنت‘

وهكذا لا يوجد اختلاف في هذه الخاصية بين ’سوبرمان‘ وبين ’كلارك كنت‘، ولا يوجد تعارض مع قانون تشابه المتطابقات. أما ما تعرفه ’لويس لين‘ بخصوص كل من هاتين الشخصيتين فأمر مختلف لا علاقة له بتطابق الشخصيتين، وإنما هو خاصية ثنائية تربطها بكل منهما، تماماً كمثال المقعد والقطة أعلاه.

المضمون مقارنة بالسرد

عند تعريف الأفكار، قد نستخدم المضمون (intension) أو السرد (extension). المضمون يحدد معنى الشيء، ولا يعدّد أمثلة لما يمكن أن يندرج تحت تعريف الشيء. فمثلاً تعبير ’النباتات التي زرعتها في حديقة منزلي‘ مضمون يعطي معنى معيناً، وعندما تقرأ هذا التعبير تفهم منه أنني قد أكون زرعت بعض النباتات في حديقة المنزل لكنك لا تعرف ماهية هذه النباتات ولا عددها.

السرد يعدّد الأشياء التي تندرج تحت التعريف دون أن يعطي لها معنى معيناً، وسرد مثل ’طماطم وباذنجان وبقدونس وشبت وبصل‘ يعدّد بعض النباتات، لكن في غياب مضمون هذه المجموعة من النباتات قد لا يكون لها أي معنى في ذهن القارئ، وقد يعتبرها مجموعة عشوائية من النباتات أو يعطيها معنى خاصاً طبقاً لخبراته الشخصية، كأن يعتبرها مثلاً الخضروات اللازمة لعمل محشي الباذنجان (باعتبار الأرز من الحبوب وليس من الخضروات) وقد أعني أنا بها النباتات التي زرعتها في حديقة منزلي.

المضمون يختص بالمعنى، والسرد يختص بالدقة في التعريف.

المضمون والسرد لهما استخدمان مختلفان، ولا يغني أحدهما عن الآخر، فمثلاً المضمون لمجموعة البشر الذي تنطبق أو انطبقت عليهم صفة ’رئيس الولايات المتحدة‘ لا يعطي أية فكرة عن عددهم ولا عن أسمائهم، لكن سرد أسماء الرؤساء (وعددهم ٤٥ وقت كتابة هذه التدوينة) يعطي معلومات عن الأشخاص وعددهم ولا يعطي أية فكرة عن العلاقة التي تربط بينهم، ولو أنك لا تعرف أن بعضاً منهم تولوا رئاسة الولايات المتحدة فلن تعرف—بل قد لا تتمكن من تخمين—العلاقة التي تربط بين هذه الأسماء على الإطلاق.

وليس كل شيء نعرف مضمونه يمكن التعبير عنه بالسرد، ولا كل سرد يمكن تحويله إلى مضمون واحد بعينه، فمثلاً مضمون ’الحيوانات الموجودة على كوكب الأرض‘ مفهوم للجميع كمعنى، لكن لا يمكن أن نسرد كل عناصره، إذ أن أنواعاً جديدة ما زالت تُكْتَشَف حتى يومنا هذا، والمحيطات لم يتم سبر أغوارها وقد يكون بها من الكائنات ما لا نعلمه. في المقابل نجد أن سرد الحروف {ب، ع، ا، ت، ه} قد يكون مقابلاً لأحد المضامين التالية ”حروف كلمة «تابعه»“، أو ”حروف كلمة «عاتبه»“، أو ”حروف كلمات «هاب» أو «باع» أو «تاب»“، أو غيرها من المضامين الممكنة.

وهذا يطرح تساؤلاً عن معنى تطابق شيئين، فهل التطابق يعتمد على المضمون الذي يصف معنى الأشياء وخصائصها أم على سرد هذه الأشياء وخصائصها؟ هل المضامين المختلفة في مثال الحروف السابق متطابقة لأنها تشترك في السرد نفسه أم غير متطابقة؟ فإذا كانت متطابقة فكيف لها أن تعطي معاني مختلفة في الذهن؟ وإذا كانت غير متطابقة، فكيف لها أن تشترك في السرد الواحد نفسه؟

تطابق المضامين يستلزم تطابق السرود المقابلة لها، أما تطابق السرود فلا يعني بالضرورة تطابق المضامين المقابلة لها.

يقال لشيئين أنهما متكافئان من جهة المضمون (intensionally equivalent) إذا كان لهما المضمون نفسه، ويقال أنهما متكافئان من جهة السرد (extensionally equivalent) إذا كان لهما السرد نفسه، والتكافؤ من جهة المضمون يختلف عن التكافؤ من جهة السرد. والأشياء المتكافئة من جهة المضمون تشترك في السرد الواحد نفسه، أما الأشياء المتكافئة من جهة السرد فليس لها بالضرورة المضمون الواحد نفسه.

التطابق في قانون تشابه المتطابقات يعني التكافؤ من جهة المضمون وليس السرد.

وبناء عليه فإن التكافؤ من جهة المضمون أعمق من التكافؤ من جهة السرد، وقانون تشابه المتطابقات يعنى بالأشياء المتكافئة من جهة المضمون وليس الأشياء المتكافئة من جهة السرد، والمضمون قد يكون فكرة مجردة وليس شيئاً مادياً بذاته، ففي المثال المذكور أعلاه نجد أن مضمون ’الحيوانات الموجودة على كوكب الأرض‘ فكرة مجردة تعبر عن فئة من الأشياء وليس عن شيء بعينه، وهكذا فإن الإنسان من الحيوانات الموجودة على كوكب الأرض وكذلك الكلب والبقرة والحوت وغيرها. هذا لا يعني مطلقاً أن هذه الكائنات جميعها هي الشيء نفسه من كل جهة، لكنها الشيء نفسه من جهة أنها حيوانات موجودة على كوكب الأرض.

في الرياضيات

التكافؤ من جهة المضمون في الرياضيات هو ما يطلق عليه التطابق (identity)، وعادة ما تعبر علامة التساوي \(=\) عن التكافؤ من جهة السرد وليس المضمون، أما تكافؤ المضمون فيعبر عنه بالعلامة \(\equiv\) أو بالعلامة \(:=\) لكن في أغلب الأحوال تستخدم علامة التساوي للتعبير عن تكافؤ المضمون أيضاً، إذ أن تكافؤ المضمون يستلزم بالضرورة تكافؤ السرد، ومن الخطأ أن نستخدم علامة التطابق للتعبير عن تكافؤ السرد فقط، إذ أن تكافؤ السرد لا يستلزم تكافؤ المضمون.

ومن أمثلة التطابق في الرياضيات متطابقات حساب المثلثات (trigonometric identities) وكذلك التعريفات (definitions) مثل تعريفات الدوال (functions) أو المجموعات (sets)، وبعض برامج الحواسب الجبرية (computer algebra systems) مثل ماكسيما (Maxima) تفرق في الاستخدام بين العلامتين وكذلك تفعل بعض لغات البرمجة مثل باسكال (Pascal).

وقانون تشابه المتطابقات في الرياضيات يعني أن كل شيئين متطابقين لهما بالضرورة نفس القيمة الرياضية (والتي قد تكون سرداً للعناصر مثلما هو الحال مع المجموعات).

قانون تشابه المتطابقات يعبر عنه رياضياً بمنطق الرتبة الأولى كالآتي:

\[ (\forall\,x)(\forall\,y)\left[x=y\rightarrow (\forall\,P)(P(x)\leftrightarrow P(y))\right] \]

وباستخدام حساب اللامدا (lambda calculus) يعبر عنه كالآتي[i]:

\[ (\forall\,x)(\forall\,y)\left[x=y\rightarrow (\forall\,P)(\lambda a(Pa)x\leftrightarrow \lambda a(Pa)y)\right] \]

وهو ما يزيل الالتباس عند استخدام المنطق الطوري مع خصائص الشيء.

واستخدام عكس المقلوب (contrapositive) للجملة الشرطية في التعريف—وهو مكافيء لها—يعطينا ما يلي:

\[ (\forall\,x)(\forall\,y)\left[x\neq y\leftarrow (\exists\,P)(P(x)\nleftrightarrow P(y))\right] \]

أي أنه إذا اختلف شيئان في خاصية ما فإن الشيئين بالضرورة ليسا متطابقين، وأحياناً يعرف هذا بقانون اختلاف المتمايزات (discernibility of the distinct)، ويعبر عنه باستخدام حساب اللامدا كالآتي:

\[ (\forall\,x)(\forall\,y)\left[x\neq y\leftarrow (\exists\,P)(\lambda a(Pa)x\nleftrightarrow \lambda a(Pa)y\right] \]

الخلاصة

  • قانون تشابه المتطابقات ينص على أنه إذا تطابق شيئان فكل ما يحق لأحدهما يحق بالضرورة للآخر، وكل صفة أو خاصية في أحدهما هي بالضرورة صفة أو خاصية في الآخر.
  • الصفات أو الخصائص التي يعنى بها قانون تشابه المتطابقات هي الصفات الأحادية للشيء، والتي لا تعتمد على الإشارة إلى شيء آخر.
  • ما نعرفه عن الأشياء ليس بالضرورة صفة أحادية لها، لأن المعرفة ثنائية على أقل تقدير، فالأشياء وخصائصها طرف من المعرفة، ونحن الطرف الآخر.
  • التطابق في قانون تشابه المتطابقات يعني التكافؤ من جهة المضمون لا من جهة السرد، إذ أن كل مضمون يقابله سرد واحد فقط، وليس كل سرد يقابله مضمون واحد فقط وقد تشترك عدة مضامين في السرد الواحد نفسه.

المراجع

  1. Maunu, Ari. (2017). The principle of the indiscernibility of identicals requires no restrictions. Synthese. doi:10.1007/s11229-017-1468-y.

نسب المصنفات

  1. صورة جوتفريد فيلهلم لايبنتس. Public Domain Mark هذا العمل خالٍ من أي قيود معروفة لحقوق التأليف والنشر. الصورة الأصلية في الرابط.
  2. صورة سوبرمان. بواسطة MayanTimeGod. مرخص بموجب رخصة المشاع الابداعي رخصة المشاع الإبداعي نسب المصنف - منع الاشتقاق 3.0 غير موطَّنة. الصورة الأصلية في الرابط.
  3. صورة سول كريبكي. الصورة الأصلية في الرابط.

باستثناء المصنفات المنسوبة أعلاه، يستحق القراءة بواسطة رفيق ميخائيل مرخص بموجب رخصة المشاع الابداعي رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف - غير تجاري - الترخيص بالمثل 4.0 دولي.

هذه الصفحة تستخدم مكتبة ماثجاكس (MathJax Library)

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (٢)

المقال السابق: ’الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (١)‘ ناقشت في المقال السابق عدداً من المعاملات المنطقية هي المعامل الأحادي الوحي...