بحث هذه المدونة الإلكترونية

مفارقة راسل وحدود قدرة الله

برتراند راسل (Bertrand Russell) فيلسوف وعالم رياضيات ومنطق وكاتب بريطاني ولد عام ١٨٧٢ وتوفي عام ١٩٧٠، وكانت له مساهمات عظيمة في الرياضيات والمنطق، ومن ضمن هذه المساهمات ما يعرف باسم مفارقة راسل (Russel's paradox) التي سميت على اسمه بالطبع. القصة تبدأ من عام ١٨٧٤ وعندما كان برتراند راسل عمره عامان فقط، وفي ذلك العام نشر عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور (Georg Cantor) ورقة أسست لما نطلق عليه الآن نظرية المجموعات (Set Theory)، وقد كان لهذه النظرية أكبر الأثر في تطور المنطق والكثير من فروع الرياضيات، وكانتور له إسهامات تاريخية في علم الرياضيات أحدها تأسيس نظرية المجموعات. لكن لأن نظرية المجموعات كانت في المهد في هذا الوقت، فحتى العبقري كانتور لم يفطن إلى أن تعريفه الرياضي للمجموعة ليس كاملاً، وأنه ينتج عنه مفارقة تجعل هناك تناقضاً في الرياضيات، وهو أمر غير مقبول بالمرة.

عرف كانتور المجموعة الرياضية على أنها أي مجموعة من الأشياء يمكن تعريفها بدقة، ولا يتكرر فيها العنصر الواحد مرتين. على سبيل المثال، مجموعة الحروف المكونة لكلمة ’مجموعة‘ هي {م، ج، و، ع، ة} ونلاحظ أننا لم نكتب حرف الميم مرتين. الواقع أن تعريف كانتور للمجموعة الرياضية بسيط جداً ومفيد وعملي في أغلب الحالات، لكن الرياضيات لا تهتم بأغلب الحالات فقط. الرياضيات تهتم بكل الحالات. فكر برتراند راسل في تعريف لإحدى المجموعات يجعل منها مستحيلة بسبب التناقض.

تخيل لو أن المجموعة مثل الصندوق الذي يمكن أن تضع فيه ما شئت، حتى وإن كان صناديق (مجموعات) أخرى بداخلها صناديق (مجموعات) أخرى وهكذا. يمكن أيضاً أن تضع أشياء داخل الصناديق بخلاف الصناديق، فيمكن مثلاً أن تضع كتباً في أحد أو كل هذه الصناديق، ومثل هذه الأشياء التي ليست صناديق تسمى في نظرية المجموعات ’عناصر‘ والصناديق تسمى ’مجموعات‘. طبقاً لتعريف كانتور، فإنك يمكن أن تضع داخل الصندوق (المجموعة) أي فئة من الأشياء طالما حددت محتوى الصندوق بدقة. فمثلاً يمكن أن يكون هناك صندوق لكل كتب الرياضيات التي أملكها، ويمكن أن أقسم هذه الكتب فأضع داخل الصندوق الكبير صناديق أصغر، منها ما يحتوي على كتب الجبر ومنها ما يحتوي على كتب حساب المثلثات ومنها ما يحتوي على كتب التفاضل والتكامل، فأكون بهذا الشكل قد كونت مجموعة كبيرة بها ’كل كتب الرياضيات التي أملكها‘ وتحتوي هذه المجموعة على مجموعات أصغر منها مجموعة تحتوي على ’كتب الجبر‘ ومجموعة تحتوي على ’كتب حساب المثلثات‘ ومجموعة تحتوي على ’كتب التفاضل والتكامل‘. كل العناصر (الكتب) التي في صندوق (مجموعة) الجبر مثلاً هي أيضاً عناصر في الصندوق (المجموعة) الأكبر، بينما لن نجد كتاباً عن الجبر في صندوق حساب المثلثات أو صندوق التفاضل والتكامل. بل يمكن أيضاً أن أضع بداخل الصندوق الكبير صندوقاً فارغاً يحتوي على ’كتب المعادلات التفاضلية‘، وذلك لأنني لا أملك كتباً عن المعادلات التفاضلية! صندوق (مجموعة) المعادلات التفاضلية هو أيضاً من محتويات الصندوق الكبير، حتى وإن كان هو نفسه لا يحتوي على كتب. هذا الصندوق الفارغ يسمى في نظرية المجموعات ’المجموعة الخالية‘.

تخيل الآن لو أنني أردت أن أخصص صندوقاً أضع فيه كل الصناديق التي لا تحتوي على نفسها! سيقول قائل إن مثل هذا الصندوق لا يوجد في الواقع، أو إن مثل هذا الصندوق هو كل صندوق في الواقع. الرياضيات لا تتحدث عن الواقع. الرياضيات تبحث في أفكار مجردة مثالية قد يكون لا علاقة لها بالواقع إطلاقاً، على الرغم من أن هذه الأفكار تستخدم لفحص الواقع وتقريبه وإجراء الحسابات فيه.

الآن لو أن مثل هذا الصندوق (الذي يحتوي على كل الصناديق التي لا تحتوي على نفسها) هو نفسه يحتوي على نفسه، فإن هذا يناقض تعريفه، لأنه سيصير محتوياً على نفسه (والمفترض أنه يحتوي على كل الصناديق التي لا تحتوي على نفسها فقط). ولو أن مثل هذا الصندوق هو نفسه لا يحتوي على نفسه، فإن هذا يجعل منه لا يحتوي على كل الصناديق التي لا تحتوي على نفسها لأنه لا يحتوي على نفسه!

وبلغة الرياضيات، لو كانت \(X\) هي المجموعة التي تحتوي على كل المجموعات \(x\) التي لا تحتوي على نفسها، فإن:

\[ X = \{ x \mid x \notin x \} \]

فإذا كانت \(X\) تحتوي على نفسها فإن:

\[ X \in X \implies X \notin X \qquad \qquad \unicode{x21af} \]

وإذا كانت \(X\) لا تحتوي على نفسها فإن:

\[ X \notin X \implies X \in X \qquad \qquad \unicode{x21af} \]

ففي جميع الحالات فإن تعريف المجموعة السابقة طبقاً لتعريف كانتور للمجموعة يؤدي إلى تناقض! هذه ليس خطأ في الرياضيات، وإنما هو نقص في تعريف المجموعة، وقد كتبت مقالاً عن أسس الرياضيات، ومنها التعريفات، وكان لا بد من تعديل تعريف المجموعة لكي لا يؤدي إلى هذا التناقض، ولهذا السبب تسمى نظرية المجموعات التي فيها تعريف المجموعة كما أورده كانتور ’نظرية المجموعات المبسطة‘ (Naïve Set Theory) أما نظريات المجموعات (بالجمع لأن هناك أكثر من واحدة) الحديثة فقد اعتمدت في تعريف المجموعات والعمليات عليها على مجموعة من المسلمات (axioms) ولهذا فإنها تسمى بالإنجليزية Axiomatic Set Theory.

ومن هذا نرى أن نقص التعريف يمكنه أن يؤدي إلى تناقض. وانطلاقاً من هذا أيضاً يمكن أن نناقش الجدلية التي تقول الآتي:

إذا كان الله قادر على فعل كل شيء، فهل يقدر الله على خلق صخرة في منتهى الثقل بحيث أن الله نفسه لا يمكنه أن يرفعها لثقلها؟
فإذا قدر الله على خلقها، فإنه لن يقدر أن يرفعها، ويكون الله غير قادر على كل شيء.
وإذا لم يقدر على خلقها، فإن الله ليس قادراً على كل شيء.
أي أن الله في جميع الأحوال غير قادر على كل شيء.

ويمكن أيضاً التفكير في عدد لا يحصى من الجدليات التي بهذا الشكل. فهل يقدر الله على أن يميت نفسه؟ وهل يقدر الله على أن ينزع عن نفسه صفة الألوهية؟ وهل يقدر الله على أن يخلق إلهاً آخر أو ينقسم إلى إلهين؟ وهل يقدر الله أن يجعل الأضداد واحدة، فيصير الخير كالشر والشر كالخير، وتصير الظلمة كالنور والنور كالظلمة؟ وهل يقدر الله أن يجعل العدد ١ في المطلق يساوي العدد ٤ في المطلق مثلاً؟ وهل يقدر الله أن يجعل اللانهاية محدودة؟ يمكنك عزيزي القارئ أن تفكر في جدليات من هذا النوع يفوق عددها القدرة على الحصر. فهل الله فكرة غبية لمجرد أن هذه الجدليات تجعل منه يبدو كذلك؟!

الإله في أذهان البشر فكرة، والغالبية الساحقة من البشر التي تكاد تكون كل الجنس البشري لن يدعي منهم أحد أنه رأى الله أو عرف صفاته كلها معرفة اليقين عن طريق الخبرة الشخصية (ربما عن طريق الإيمان يقتنع بصفات ما، لكنه لم يختبر الإله مباشرة كاختباره لطعم شيء ما مثلاً)، وهذا في حد ذاته ليس دليلاً على عدم وجود إله، ولا يمكن لأي إنسان يفكر بمنطق سليم أن يدعي أن هذا دليل على عدم وجود إله (وإن كان من حقه تماماً أن يرفض التصديق بوجود إله بناء على غياب الدليل، لكنه لا يقدر بالمنطق أن ’ينفي‘ وجوده بناء على غياب الدليل). النقطة الأساسية هنا هي ’تعريف الإله‘.

لكل دين تعريف معين للإله أو الآلهة (إذا كان فيه أكثر من واحد) في منظومة فكرية يفترض فيها أنها متسقة (coherent) مع نفسها، أي أنها ليس فيها تناقض، فإذا أخذنا تعريف الإله من هذا الدين ’كاملاً‘ ووجدنا فيه تناقض، فهذا يدعو إلى مراجعة الفكرة عن الإله في هذا الدين. أما إذا أخذنا التعريف ناقصاً، فإنه من الممكن جداً إيجاد تناقضات مثل مفارقة راسل.

نعود إلى نظرية المجموعات الحديثة. من أهم التعديلات التي أدخلت على تعريف المجموعة لإكماله ’مخطط مسلمة المجموعات الجزئية‘ (Axiom Schema of Specification) وهي أن المجموعات الجزئية ليست مطلقة، ولكن يمكن تكوينها من عناصر المجموعة الأصلية المستوفية لشروط معينة. وبالتالي فإن مفارقة راسل لا يكون لها محل من الإعراب، إذ أن المجموعة التي تحتوي على ’كل المجموعات التي لا تحتوي على نفسها‘ لا يمكن أن تحتوي هي على نفسها بلا قيد ولا شرط! الشرط الأساسي في تكوين المجموعة الجزئية أن تكون من عناصر المجموعة الأصلية. وبلغة رياضية:

\[ \forall w_1,w_2,\dotsc ,w_n \forall A \exists B \forall x(x \in B \iff [x \in A \wedge \varphi(x,w_1,w_2,\dotsc ,w_n,A)]) \]

وبغض النظر عن التعريف الرياضي المعقد شكلاً، فإن المعنى بسيط نسبياً: إذا أردت أن تكون مجموعة جزئية من مجموعة أصلية، فأنت مرتبط بشرط لا يمكن التخلي عنه وهو أن تكون المجموعة الجزئية محتوية على عناصر من المجموعة الأصلية. لا يمكن أن يهمل تعريف المجموعة الجزئية وجود العناصر في المجموعة الأصلية. فمثلاً، لو كانت المجموعة التي تحتوي على ’كل الحشرات‘ هي المجموعة الأصلية، ونحن نعرف أن بعض الحشرات يطير والبعض لا يطير، فإن المجموعة الجزئية منها التي تعريفها ’الحشرات التي تطير‘ مشروطة بكون عناصرها من المجموعة الأصلية (الحشرات) فلا يمكن مثلاً أن نعتبر أن المجموعة الجزئية هي من ’الكائنات التي تطير‘ فقط، فيصير منها معظم الطيور وبعض الثدييات كالخفافيش مثلاً، وبعض الأسماك أيضاً!

فما علاقة ذلك بالحديث عن الله؟!

الله قادر على كل شيء في بعض الأديان، إن لم يكن معظمها، لكن مجموعة الأشياء التي يقدر الله عليها هي في الواقع مجموعة جزئية من مجموعة الأشياء التي يمكن أن تكون أصلاً! هناك أشياء لا يمكن أن تكون، وهي ليست عناصر في مجموعة الأشياء التي يمكن أن تكون، وبالتالي ليست من الأشياء التي يقدر على فعلها الله! نعم... الله ليس مطلق القدرة بلا قيد ولا شرط. فما هي محدودية قدرة الله؟ ما هي الشروط التي تحكم قدرة الله على فعل الأشياء؟

الشرط الوحيد الذي ’يحكم‘ قدرة الله إن جاز التعبير هو اتساق الفكرة عن الإله في الدين كما ذكرنا سابقاً. النظر إلى جزء فقط من تعريف الإله وصفاته يؤدي إلى حدوث التناقض. أبسط الأمور عن فكرة الإله في العقل البشري هي أن الله عاقل، وهو مصدر كل عقل وكل منطق، وليس أكمل من الله في العقل، وبالتالي فإن كل ما لا يقبله العقل البشري منطقياً يتعارض مع كمال عقل الله بالضرورة، فإذا كان العقل البشري لا يقبل أن يكون العدد ١ مساوياً للعدد ٤ فإن العقل الإلهي بالضرورة لا يقبل هذا ولا يفعله، وإذا كان الله الذي ليس فوق قدرته قدرة لا يفعل شيئاً فإنه ببساطة لا يُمْكِن فعلُه على الإطلاق، ولا يوجد ما أو من يمكن أن يفعله أبداً. ببساطة شديدة، لو أن الله جعل العدد ١ مساوياً للعدد ٤ فقد انتفى عنه العقل، وهو ما يتعارض مع تعريف الإله في الأساس.

وعندما أتحدث عن الأشياء التي يمكن أن تكون والأشياء المستحيلة فإنني أتحدث عن أفكار مطلقة غير مربوطة بالواقع المادي، لأن قدرة الإنسان على إدراك ومعرفة الواقع المادي محدودة بالمكان والزمان والقدرة على الاستيعاب ومعرفة دوافع الآخرين وأفكارهم، ولذلك فإن قدرة الإنسان على تمييز ما هو خَيْر بالضرورة أو شَرّ بالضرورة في ترتيب الكون محدودة، وفكرة أن ’الله يسمح بالشَرّ على الرغم من أنه كله خَيْر، إذاً فهو متناقض مع نفسه‘ فكرة لا يمكن التدليل عليها منطقياً بشكل وافٍ بسبب محدودية معرفة الإنسان، وكل من يستخدمها للتدليل على عدم وجود الله أو على عبثية فكرة الإله الخَيِّر يستخدم مغالطة منطقية غير صورية (informal logical fallacy) تسمى ’الجدال بالجهل‘ (argument from ignorance)، فمعنى كلامه: ”أنا لا أعرف لماذا سمح الله بذلك الذي أعتبره شَرّاً، ولأنني لا أعرف فأنا متأكد أن الله غير موجود أو غير خَيِّر“. يا عزيزي، ’أنت لا تعرف‘ لا يمكن منها أن تستنتج أي شيء على الإطلاق، لا بالسلب ولا بالإيجاب. ’أنت لا تعرف‘ معناها الوحيد أنك لا تعرف.

الطريف هنا أن برتراند راسل نفسه (وقد كان لا يؤمن بوجود إله) استخدم ما أستخدمه أنا الآن في جداله حول الدين فيما يعرف باسم ’إبريق شاي راسل‘ (Russell's teapot) ولكنه لم يستخدمه لإثبات عدم وجود إله (كما يستخدمه الكثيرون بصورة خاطئة الآن) لأنه كان عالماً في الرياضيات والمنطق ويعرف جيداً أن عدم المعرفة ليس مقدمة لأي استنتاج، وإنما استخدمه ليناقش عبء إقامة الحجة (burden of proof)، وأن المؤمن بوجود إله عليه أن يثبت لمن لا يعتقد بوجود إله أن الإله موجود وليس على من لا يعتقد بوجود إله أن يثبت للمؤمن به أن الله غير موجود. الواقع أن لا هذا ولا ذاك يعرف إذا كان الله موجوداً أم غير موجود، ولا هذا ولا ذاك يملك برهاناً قاطعاً بما لا يدع مجالاً للشك على أن الله موجود أو غير موجود، وليس الغرض من هذا المقال مناقشة وجود الله من عدمه، وإنما توضيح المغالطات التي تستخدم أحياناً في الجدل حول وجود الله. كل من اليقين القاطع (من وجهة النظر الفلسفية) بوجود إله والإنكار القاطع لوجود إله هو مغالطة جدال بالجهل.

فعندما أتحدث عن مفهوم البشر عن الله في هذا السياق أعني الأفكار المجردة عن الماديات، والتي يمكن إدراكها بمجرد العقل ولا يحدها زمان أو مكان أو تحجبها تجربة شخصية لآخر لا يمكنك أن تعرفها. علينا لكي نناقش بمنطقية وجود الله من عدمه أن نأخذ في الاعتبار كل صفات الإله في المنظومة الدينية محل النقاش، وإلا فإننا سننتهي إلى تناقض لا مبرر له. وعلينا أن نميز أن الله قادر على فعل ’كل ما يمكن فعله‘، وأن هناك ما يتعارض مع صفات الإله في كل منظومة دينية، وكل ما يتعارض مع صفات الإله هو بالضرورة مستحيل، وبالتالي فهو ليس من مجموعة ’كل ما يمكن فعله‘، وبالتالي فإن المجموعة الجزئية منها وهي ’كل ما يقدر الله على فعله‘ لا تشمل مثل هذه الأشياء. أتكلم فيما يلي من منطلق مسيحي، لكن أعتقد أنه سيتفق مع أديان أخرى.

  • الله لن يقدر أن يقتل نفسه لأن الله حي لا يموت، وقتل الله ليس من الأشياء الممكنة.
  • الله لن يقدر أن يخلق صخرة ثقيلة جداً لدرجة أن ثقلها يعجزه عن أن يحملها لأن الله لا يعجزه شيء، فتعجيز الله أمر مستحيل.
  • الله لن يقدر أن يجعل الخير كالشر والشر كالخير لأن الله مطلق العقل، والعقل يستوجب أن الاختلاف يلزمه على الأقل شيئين، فلا يمكن بالتبعية جعل الأضداد متشابهة، ولا يعقل أن يستمر الكون في الوجود مع عدم وجود اختلاف. إذا انتهى الاختلاف فلن يوجد سوى الله وحده.
  • الله لا يمكنه أن ينقسم إلى اثنين لأن الله واحد بالضرورة، فوجود إلهين أمر مستحيل.

اقرأ... فكر... تعلم... وفي النهاية لك مطلق الحرية في أن تعتقد بوجود إله أو لا تعتقد، لكن لا تظن أن جهلك يعطيك تميزاً على من يؤمن بوجود إله، ولا تظن أن إيمانك يعطيك تميزاً على من لا يؤمن بوجود إله، فأنت تؤمن بدون دليل، ومن لا يؤمن يفعل ذلك بدون دليل، وكل ما أرجوه ممن يقرأ هذا المقال أن يعمل عقله.


نسب المصنفات

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (٢)

المقال السابق: ’الجبر البولياني: المعاملات المنطقية (١)‘ ناقشت في المقال السابق عدداً من المعاملات المنطقية هي المعامل الأحادي الوحي...